878.

cos⁡2x−sin⁡2x≥0\cos2x-\sin2x\ge0

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu:

cos⁡2x−sin⁡2x≥0\cos2x-\sin2x\ge0
REŠENJE ZADATKA

Pomnožiti jednačinu sa −1.-1. Pri množenju nejednačine negativnim brojem menja se smer znaka nejednakosti.

sin⁡2x−sin⁡2x≤0\sin2x-\sin2x\le0

Podeliti obe strane jednačine sa: a2+b2=12+12=1+1=2,\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2+ 1^2} = \sqrt{1+1}=\sqrt2, gde su aa i bb koeficijenti koji stoje uz sin⁡x\sin{x} i cos⁡x\cos{x}

12sin⁡2x−12cos⁡2x≤022sin⁡2x−22cos⁡2x≤0\frac{1}{\sqrt{2}} \sin2x - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos2x \le0 \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \sin2x- \frac{\sqrt{2}}{2} \cos2x \le0

Koeficijent 22\frac {\sqrt2}2zameniti njegovim trigonometrijskim vrednostima: cos⁡π4\cos{\frac{\pi}{4}} i sin⁡π4\sin\frac {\pi}4

sin⁡2x⋅cos⁡π4−sin⁡π4⋅cos⁡2x≤0\sin2x \cdot \cos{\frac{\pi}{4}} - \sin{\frac{\pi}{4}} \cdot \cos2x \le0

Leva strana nejednačine može se napisati kao sinus razlike dva ugla koristeći formulu: sin⁡(α−β)=sin⁡α⋅cos⁡β−sin⁡β⋅cos⁡α.\sin{(\alpha-\beta)} = \sin{\alpha}\cdot\cos{\beta}-\sin{\beta}\cdot\cos{\alpha}.

sin⁡(2x−π4)≤0\sin{(2x-\frac{\pi}{4})} \le 0

Rešiti nejednačinu:

π+2kπ≤2x−π4≤2π+2kπ5π4+2kπ≤2x≤9π4+2kπ5π8+kπ≤x≤9π8+kπ,k∈Z\pi+ 2k\pi \le2x-\frac{\pi}{4} \le 2\pi+ 2k\pi \\ \frac{5\pi}4 +2k\pi \le 2x \le\frac{9\pi}{4} +2k\pi \\ \frac{5\pi}{8}+k\pi\le x\le\frac{9\pi}{8}+k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}