Jednačina 4 sin 2x cos 2x + 1 = 0 na intervalu

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

4\sin{2x}\cos{2x}+1=0, \quad x\in (0,\pi)

REŠENJE ZADATKA

Rastaviti prvi sabirak tako da se može primeniti adiciona formula za sinus dvostrukog ugla:

2\cdot2\sin{2x}\cos{2x}+1=0

Primeniti formulu za sinus dvostrukog ugla: $\sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$

2\sin{4x}+1=0

Prebaciti poznate na jednu, a nepoznate na drugu stranu znaka jednakosti:

2\sin{4x}=-1

Podeliti obe strane jednačine sa $2:$

\sin{4x}=-\frac 1 2

Rešavanjem jednačine dobijaju se dva rešenja:

4x=\frac {7\pi} 6 +2k\pi \quad \lor \quad 4x=\frac {11\pi} 6 +2k\pi, \quad k\in \mathbb{Z}

Konačno rešenje je:

x=\frac {7\pi} {24}+\frac {k\pi} 2 \quad \lor \quad x=\frac {11\pi} {24}+\frac {k\pi} 2, \quad k\in \mathbb{Z}

19. Trigonometrijske jednačine