Jednačina cos x = cos 3x na intervalu od 0 do 2 pi

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

\cos{x}=\cos{3x}, x \in \lbrack0, 2\pi \rbrack

REŠENJE ZADATKA

Prebaciti sve članove jednačine na jednu stranu znaka jednakosti.

\cos{x}-\cos{3x}=0

Primeniti formulu za transformaciju zbira i razlike u proizvod: $\cos{\alpha}-\cos{\beta}=-2\sin{\frac {\alpha+\beta} 2}\sin{\frac {\alpha-\beta} 2}$

-2\sin{2x}\sin{x}=0

Proizvod je jednak nuli kada je barem jedan od činilaca jednak nuli.

\sin{2x}=0 \quad \lor \quad \sin{x}=0

Rešavanjem prve jednačine dobija se:

2x=0+k\pi \implies x=\frac {k\pi} 2

Pošto $x \in \lbrack0, 2\pi \rbrack,$ uzimaju se vrednosti za $k=0,1,2,3,4,$ što daje rešenja:

x=0, \frac {\pi} 2, \pi, \frac {3\pi} 2, 2\pi

Rešavanjem druge jednačine dobija se:

x=k\pi

Pošto $x \in \lbrack0, 2\pi \rbrack,$ uzimaju se vrednosti za $k=0,1,2,$ što daje rešenja:

x=0, \pi, 2\pi

Kombinovanjem rešenja iz oba slučaja dobija se konačno rešenje:

x \in \{0, \frac {\pi} 2, \pi, \frac {3\pi} 2, 2\pi \}

18. Trigonometrijske jednačine