851. Trigonometrijski limes

TEKST ZADATKA

Odrediti graničnu vrednost:

\lim_{{x} \to {0}}\bigg(\frac1{\sin x}-\ctg x\bigg)

REŠENJE ZADATKA

Primeniti osnovnu relaciju između trigonometrijskih funkcija: $\ctg{x}=\frac {\cos{x}} {\sin{x}}$

\lim_{{x} \to {0}}\bigg(\frac1{\sin x}-\frac{\cos x}{\sin x}\bigg) \\ \lim_{{x} \to {0}}\frac{1-\cos x}{\sin x}

Primeniti formulu za sinus poluugla: $\sin^2{\frac {\alpha} 2}=\frac {1-\cos{\alpha}} 2$

\lim_{{x} \to {0}}\frac{2\sin^2\frac x2}{\sin \big(2\cdot\frac x2\big)}

Primeniti formulu za sinus dvostrukog ugla: $\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$

\lim_{{x} \to {0}}\frac{2\sin^2\frac x2}{2\sin\frac x2\cos\frac x2} \\ \lim_{{x} \to {0}}\frac{\sin\frac x2}{\cos\frac x2}

Zameniti $x=0$ i uvrstiti vrednost trigonometrijskih funkcija.

\frac{\sin0}{\cos0} \\ \frac 01 \\ 0

lim⁡x→0(1sin⁡x−ctg⁡x)\lim_{{x} \to {0}}\big(\frac1{\sin x}-\ctg x\big)limx→0​(sinx1​−ctgx)