852. Trigonometrijski limes

TEKST ZADATKA

Odrediti graničnu vrednost:

\lim_{{x} \to {0}}\frac{1-\cos 2x}{2\sin\frac x2\cos\frac x2}

REŠENJE ZADATKA

Primeniti formulu za kosinus dvostrukog ugla: $\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$

\lim_{{x} \to {0}}\frac{1-\cos^2x+\sin^2x}{2\sin\frac x2\cos\frac x2}

Primeniti osnovnu relaciju između trigonometrijskih funkcija: $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$

\lim_{{x} \to {0}}\frac{\sin^2x+\cos^2x-\cos^2x+\sin^2x}{2\sin\frac x2\cos\frac x2} \\ \lim_{{x} \to {0}}\frac{2\sin^2x}{2\sin\frac x2\cos\frac x2}

Primeniti formulu za sinus dvostrukog ugla: $\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$

\lim_{{x} \to {0}}\frac{2\sin^2x}{\sin x} \\ \lim_{{x} \to {0}}2\sin x

Zameniti $x=0$ i uvrstiti vrednost trigonometrijskih funkcija.

2\sin0 \\ 0

lim⁡x→01−cos⁡2x2sin⁡x2cos⁡x2\lim_{{x} \to {0}}\frac{1-\cos 2x}{2\sin\frac x2\cos\frac x2} limx→0​2sin2x​cos2x​1−cos2x​