2890. Trigonometrijske jednačine

Primenjujemo formulu za transformaciju zbira sinusa u proizvod: $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} .$

2 \sin \frac{6x + 4x}{2} \cos \frac{6x - 4x}{2} = 0

Sređujemo izraze u argumentima trigonometrijskih funkcija.

2 \sin 5x \cos x = 0

Proizvod je jednak nuli ako je barem jedan od činilaca jednak nuli.

\sin 5x = 0 \quad \lor \quad \cos x = 0

Rešavamo prvu jednačinu $\sin 5x = 0 .$

5x = k\pi \implies x = \frac{k\pi}{5}, \quad k \in \mathbb{Z}

Rešavamo drugu jednačinu $\cos x = 0 .$

x = \frac{\pi}{2} + m\pi, \quad m \in \mathbb{Z}

Konačno rešenje je unija rešenja obe jednačine.

x = \frac{k\pi}{5} \quad \lor \quad x = \frac{\pi}{2} + m\pi, \quad k, m \in \mathbb{Z}

932