2886. Trigonometrijske jednačine

Grupisaćemo prvi i treći sabirak kako bismo primenili formulu za transformaciju zbira sinusa u proizvod:

(\sin 3x + \sin x) + \sin 2x = 0

Primenjujemo formulu $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}$ na izraz u zagradi:

2 \sin \frac{3x+x}{2} \cos \frac{3x-x}{2} + \sin 2x = 0

Sređujemo izraz:

2 \sin 2x \cos x + \sin 2x = 0

Izvlačimo zajednički činilac $\sin 2x$ ispred zagrade:

\sin 2x (2 \cos x + 1) = 0

Proizvod je jednak nuli ako je barem jedan od činilaca jednak nuli. Dobijamo dve jednačine:

\sin 2x = 0 \quad \lor \quad 2 \cos x + 1 = 0

Rešavamo prvu jednačinu:

\sin 2x = 0 \implies 2x = k\pi \implies x = \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}

Rešavamo drugu jednačinu:

2 \cos x + 1 = 0 \implies \cos x = -\frac{1}{2}

Rešenja druge jednačine su:

x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2m\pi, \quad m \in \mathbb{Z}

Konačno rešenje je unija rešenja ove dve jednačine:

x = \frac{k\pi}{2} \quad \lor \quad x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2m\pi, \quad k, m \in \mathbb{Z}

2886.Trigonometrijske jednačine