2882. Trigonometrijske jednačine

Grupišemo članove jednačine kako bismo primenili trigonometrijske identitete:

(\cos 6x - \cos 2x) + (\sin 5x + \sin 3x) = 0

Primenjujemo formule za transformaciju zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod:

\begin{aligned} \cos A - \cos B &= -2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2} \\ \sin A + \sin B &= 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} \end{aligned}

Primenom ovih formula na našu jednačinu dobijamo:

-2 \sin 4x \sin 2x + 2 \sin 4x \cos x = 0

Izvlačimo zajednički faktor $2 \sin 4x$ ispred zagrade:

2 \sin 4x (\cos x - \sin 2x) = 0

Proizvod je jednak nuli ako je bar jedan od faktora jednak nuli. Prvi slučaj je:

\sin 4x = 0 \implies 4x = k\pi \implies x = \frac{k\pi}{4}, \quad k \in \mathbb{Z}

Drugi slučaj je kada je izraz u zagradi jednak nuli. Primenjujemo formulu za sinus dvostrukog ugla $\sin 2x = 2 \sin x \cos x :$

\cos x - 2 \sin x \cos x = 0

Izvlačimo zajednički faktor $\cos x$ ispred zagrade:

\cos x (1 - 2 \sin x) = 0

Iz ove jednačine dobijamo dva nova slučaja. Prvi je:

\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + m\pi, \quad m \in \mathbb{Z}

Drugi slučaj iz ove jednačine je:

1 - 2 \sin x = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2}

Rešavamo jednačinu $\sin x = \frac{1}{2} :$

x = \frac{\pi}{6} + 2n\pi \quad \lor \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}

Primećujemo da su rešenja $x = \frac{\pi}{2} + m\pi$ već sadržana u skupu rešenja $x = \frac{k\pi}{4}$ (za $k = 2 + 4m$ ). Stoga, konačan skup rešenja je:

x \in \left\{ \frac{k\pi}{4}, \frac{\pi}{6} + 2n\pi, \frac{5\pi}{6} + 2n\pi \mid k, n \in \mathbb{Z} \right\}

939