2879. Trigonometrijske jednačine

Koristimo formule za dvostruki ugao za sinus i kosinus:

\sin 2x = 2 \sin x \cos x \\ \cos 2x = 2 \cos^2 x - 1

Zamenjujemo ove formule u početnu jednačinu:

2 \sin x \cos x = 1 + \sqrt{2} \cos x + 2 \cos^2 x - 1

Sređujemo jednačinu i prebacujemo sve članove na levu stranu:

2 \sin x \cos x - \sqrt{2} \cos x - 2 \cos^2 x = 0

Izvlačimo zajednički faktor $\cos x$ ispred zagrade:

\cos x (2 \sin x - 2 \cos x - \sqrt{2}) = 0

Proizvod je jednak nuli ako je barem jedan od činilaca jednak nuli. Prvi slučaj je:

\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Drugi slučaj dobijamo izjednačavanjem izraza u zagradi sa nulom:

2 \sin x - 2 \cos x - \sqrt{2} = 0

Delimo jednačinu sa 2:

\sin x - \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}

Množimo jednačinu sa $\frac{\sqrt{2}}{2}$ kako bismo uveli pomoćni ugao:

\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = \frac{1}{2}

Prepoznajemo vrednosti sinusa i kosinusa za ugao $\frac{\pi}{4}$ i primenjujemo adicionu formulu za sinus razlike:

\sin x \cos \frac{\pi}{4} - \cos x \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2} \implies \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}

Rešavamo dobijenu osnovnu trigonometrijsku jednačinu. Sinus ima vrednost $\frac{1}{2}$ za uglove $\frac{\pi}{6}$ i $\frac{5\pi}{6} :$

x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \lor \quad x - \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi

Izražavamo $x$ iz obe jednačine:

x = \frac{5\pi}{12} + 2k\pi \quad \lor \quad x = \frac{13\pi}{12} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Konačan skup rešenja jednačine je unija svih dobijenih rešenja:

x \in \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{5\pi}{12} + 2k\pi, \frac{13\pi}{12} + 2k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\}

940