Jednačina 1 plus cos x plus cos 2x plus cos 3x

Grupišemo sabirke na sledeći način:

(1 + \cos 2x) + (\cos x + \cos 3x) = 0

Koristimo identitete za polovinu ugla $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$ i zbir kosinusa $\cos x + \cos 3x = 2\cos\frac{x+3x}{2}\cos\frac{x-3x}{2} = 2\cos 2x \cos x :$

2\cos^2 x + 2\cos 2x \cos x = 0

Izvlačimo zajednički faktor $2\cos x$ ispred zagrade:

2\cos x (\cos x + \cos 2x) = 0

Primenjujemo identitet za zbir kosinusa na izraz u zagradi $\cos x + \cos 2x = 2\cos\frac{x+2x}{2}\cos\frac{x-2x}{2} = 2\cos\frac{3x}{2}\cos\frac{x}{2} :$

2\cos x \left( 2\cos\frac{3x}{2}\cos\frac{x}{2} \right) = 0

Sređujemo dobijeni izraz:

4\cos x \cos\frac{3x}{2} \cos\frac{x}{2} = 0

Proizvod je jednak nuli ako je bar jedan od činilaca jednak nuli. Dobijamo tri slučaja:

\cos x = 0 \quad \lor \quad \cos\frac{3x}{2} = 0 \quad \lor \quad \cos\frac{x}{2} = 0

Rešavamo prvu jednačinu $\cos x = 0 :$

x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Rešavamo drugu jednačinu $\cos\frac{3x}{2} = 0 :$

\frac{3x}{2} = \frac{\pi}{2} + m\pi \implies x = \frac{\pi}{3} + \frac{2m\pi}{3}, \quad m \in \mathbb{Z}

Rešavamo treću jednačinu $\cos\frac{x}{2} = 0 :$

\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + n\pi \implies x = \pi + 2n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}

Primetimo da su rešenja treće jednačine $x = \pi + 2n\pi$ sadržana u rešenjima druge jednačine. Za $m = 3n + 1$ dobijamo $x = \frac{\pi}{3} + \frac{2(3n+1)\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2n\pi + \frac{2\pi}{3} = \pi + 2n\pi .$ Dakle, treći skup rešenja je podskup drugog.

Konačno rešenje je unija preostala dva skupa rešenja:

x \in \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \cup \left\{ \frac{\pi}{3} + \frac{2m\pi}{3} \mid m \in \mathbb{Z} \right\}

Započni učenje

Online časovi

938

Beleške