2874. Trigonometrijske jednačine

Prebacujemo $\cos 3x$ na levu stranu jednačine kako bismo grupisali kosinuse.

\cos x - \cos 3x = 2 \sin 2x

Primenjujemo formulu za razliku kosinusa: $\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2}$ na izraz $\cos x - \cos 3x .$

-2 \sin \frac{x + 3x}{2} \sin \frac{x - 3x}{2} = 2 \sin 2x

Sređujemo argumente sinusa na levoj strani.

-2 \sin(2x) \sin(-x) = 2 \sin 2x

Koristimo svojstvo neparnosti sinusne funkcije, $\sin(-x) = -\sin x .$

2 \sin(2x) \sin x = 2 \sin 2x

Delimo jednačinu sa $2$ i prebacujemo sve članove na levu stranu.

\sin(2x) \sin x - \sin 2x = 0

Izvlačimo zajednički činilac $\sin 2x$ ispred zagrade.

\sin 2x (\sin x - 1) = 0

Proizvod je jednak nuli ako je barem jedan od činilaca jednak nuli. Dobijamo dve jednačine.

\sin 2x = 0 \quad \lor \quad \sin x - 1 = 0

Rešavamo prvu jednačinu.

\sin 2x = 0 \implies 2x = k\pi \implies x = \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}

Rešavamo drugu jednačinu.

\sin x = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + 2m\pi, \quad m \in \mathbb{Z}

Primećujemo da su rešenja druge jednačine već obuhvaćena rešenjima prve jednačine (za neparne vrednosti $k ,$ npr. $k = 1, 5, -3, \dots$ ). Konačno rešenje je:

x = \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}

935