2888. Trigonometrijske jednačine

Primenjujemo formulu za proizvod kosinusa $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} [\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)] :$

\frac{1}{2} [\cos(2x + 3x) + \cos(2x - 3x)] = \cos 5x

Sređujemo izraz, koristeći parnost kosinusa $\cos(-x) = \cos x :$

\frac{1}{2} (\cos 5x + \cos x) = \cos 5x

Množimo celu jednačinu sa $2 :$

\cos 5x + \cos x = 2 \cos 5x

Prebacujemo sve članove na jednu stranu:

\cos x - \cos 5x = 0

Primenjujemo formulu za razliku kosinusa $\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} :$

-2 \sin \frac{x + 5x}{2} \sin \frac{x - 5x}{2} = 0

Sređujemo izraz, koristeći neparnost sinusa $\sin(-x) = -\sin x :$

-2 \sin 3x \sin(-2x) = 0 \implies 2 \sin 3x \sin 2x = 0

Proizvod je jednak nuli ako je bar jedan od činilaca jednak nuli:

\sin 3x = 0 \quad \lor \quad \sin 2x = 0

Rešavamo prvu jednačinu:

3x = k\pi \implies x = \frac{k\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}

Rešavamo drugu jednačinu:

2x = m\pi \implies x = \frac{m\pi}{2}, \quad m \in \mathbb{Z}

Konačno rešenje je unija dobijenih rešenja:

x \in \left\{ \frac{k\pi}{3} \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \cup \left\{ \frac{m\pi}{2} \mid m \in \mathbb{Z} \right\}

929