2880. Trigonometrijske jednačine

Prebacujemo sve članove sa kosinusom na levu stranu jednačine.

\cos x - \cos 3x = 2 \sin 2x

Primenjujemo formulu za razliku kosinusa: $\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} .$

-2 \sin \frac{x + 3x}{2} \sin \frac{x - 3x}{2} = 2 \sin 2x

Sređujemo izraze unutar sinusa. Kako je sinus neparna funkcija, važi $\sin(-x) = -\sin x .$

-2 \sin(2x) \sin(-x) = 2 \sin 2x \implies 2 \sin 2x \sin x = 2 \sin 2x

Prebacujemo sve članove na levu stranu i izvlačimo zajednički činilac $2 \sin 2x$ ispred zagrade.

2 \sin 2x \sin x - 2 \sin 2x = 0 \implies 2 \sin 2x (\sin x - 1) = 0

Proizvod je jednak nuli ako i samo ako je bar jedan od činilaca jednak nuli. Dobijamo dve jednačine.

\sin 2x = 0 \quad \lor \quad \sin x - 1 = 0

Rešavamo prvu jednačinu.

\sin 2x = 0 \implies 2x = k\pi \implies x = \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}

Rešavamo drugu jednačinu.

\sin x = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + 2m\pi, \quad m \in \mathbb{Z}

Primećujemo da su rešenja druge jednačine već obuhvaćena rešenjima prve jednačine (za $k = 1 + 4m$ ). Zato je konačno rešenje samo rešenje prve jednačine.

x = \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}

935