Jednačina sa četiri sinusa uglova x do 4x

Grupišemo sabirke na sledeći način:

(\sin x + \sin 3x) - (\sin 2x + \sin 4x) = 0

Primenjujemo formulu za zbir sinusa $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$ na obe zagrade:

2\sin\frac{x+3x}{2}\cos\frac{x-3x}{2} - 2\sin\frac{2x+4x}{2}\cos\frac{2x-4x}{2} = 0

Sređujemo izraze, koristeći parnost kosinusa $\cos(-x) = \cos x :$

2\sin 2x \cos x - 2\sin 3x \cos x = 0

Izvlačimo zajednički činilac $2\cos x$ ispred zagrade:

2\cos x (\sin 2x - \sin 3x) = 0

Proizvod je jednak nuli ako je barem jedan od činilaca jednak nuli. Dobijamo dve jednačine:

\cos x = 0 \quad \lor \quad \sin 2x - \sin 3x = 0

Rešavamo prvu jednačinu:

\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Rešavamo drugu jednačinu. Možemo je zapisati kao:

\sin 3x = \sin 2x

Dva ugla imaju isti sinus ako se razlikuju za ceo broj punih krugova ili ako su suplementni (uz dodatak celog broja punih krugova). Dakle, imamo dva slučaja:

3x = 2x + 2m\pi \quad \lor \quad 3x = \pi - 2x + 2m\pi, \quad m \in \mathbb{Z}

Iz prvog slučaja dobijamo:

x = 2m\pi, \quad m \in \mathbb{Z}

Iz drugog slučaja dobijamo:

5x = \pi + 2m\pi \implies x = \frac{\pi}{5} + \frac{2m\pi}{5}, \quad m \in \mathbb{Z}

Konačno rešenje je unija svih dobijenih rešenja (gde su $k$ i $m$ celi brojevi):

x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \lor \quad x = 2m\pi \quad \lor \quad x = \frac{\pi(1 + 2m)}{5}

Započni učenje

Online časovi

936

Beleške