Jednačina sin 3x sin 2x jednako sin 11x sin 10x

Koristimo trigonometrijsku formulu za pretvaranje proizvoda u zbir: $\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)] .$

Primenjujemo formulu na levu i desnu stranu jednačine:

\frac{1}{2}[\cos(3x - 2x) - \cos(3x + 2x)] = \frac{1}{2}[\cos(11x - 10x) - \cos(11x + 10x)]

Pojednostavljujemo izraze u zagradama:

\frac{1}{2}(\cos x - \cos 5x) = \frac{1}{2}(\cos x - \cos 21x)

Množimo celu jednačinu sa $2$ i skraćujemo $\cos x$ sa obe strane:

-\cos 5x = -\cos 21x

Množimo sa $-1$ i prebacujemo sve na jednu stranu:

\cos 21x - \cos 5x = 0

Koristimo formulu za razliku kosinusa: $\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\frac{\alpha + \beta}{2} \sin\frac{\alpha - \beta}{2} .$

-2 \sin\frac{21x + 5x}{2} \sin\frac{21x - 5x}{2} = 0

Pojednostavljujemo argumente sinusa:

-2 \sin 13x \sin 8x = 0

Delimo sa $-2 :$

\sin 13x \sin 8x = 0

Proizvod je jednak nuli ako je bar jedan od činilaca jednak nuli. Imamo dva slučaja:

\sin 13x = 0 \quad \lor \quad \sin 8x = 0

Rešavamo prvu jednačinu:

13x = k\pi \implies x = \frac{k\pi}{13}, \quad k \in \mathbb{Z}

Rešavamo drugu jednačinu:

8x = m\pi \implies x = \frac{m\pi}{8}, \quad m \in \mathbb{Z}

Konačno rešenje je unija ova dva skupa rešenja:

x \in \left\{ \frac{k\pi}{13} \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \cup \left\{ \frac{m\pi}{8} \mid m \in \mathbb{Z} \right\}

Započni učenje

Online časovi

930

Beleške