Jednačina cos x cos 3x jednako cos 5x cos 7x

Koristimo trigonometrijsku formulu za pretvaranje proizvoda u zbir: $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} [\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)] .$

\frac{1}{2} [\cos(x - 3x) + \cos(x + 3x)] = \frac{1}{2} [\cos(5x - 7x) + \cos(5x + 7x)]

Sređujemo izraze unutar kosinusa. Pošto je kosinus parna funkcija, važi $\cos(-\alpha) = \cos \alpha .$

\frac{1}{2} [\cos(-2x) + \cos(4x)] = \frac{1}{2} [\cos(-2x) + \cos(12x)] \\ \frac{1}{2} [\cos 2x + \cos 4x] = \frac{1}{2} [\cos 2x + \cos 12x]

Množimo celu jednačinu sa 2.

\cos 2x + \cos 4x = \cos 2x + \cos 12x

Oduzimamo $\cos 2x$ sa obe strane jednačine.

\cos 4x = \cos 12x

Prebacujemo sve članove na jednu stranu.

\cos 12x - \cos 4x = 0

Koristimo formulu za razliku kosinusa: $\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} .$

-2 \sin \frac{12x + 4x}{2} \sin \frac{12x - 4x}{2} = 0

Pojednostavljujemo argumente sinusa.

-2 \sin 8x \sin 4x = 0

Delimo jednačinu sa -2.

\sin 8x \sin 4x = 0

Proizvod je jednak nuli ako je bar jedan od činilaca jednak nuli.

\sin 8x = 0 \quad \lor \quad \sin 4x = 0

Rešavamo prvu jednačinu $\sin 8x = 0 .$

8x = k\pi \implies x = \frac{k\pi}{8}, \quad k \in \mathbb{Z}

Rešavamo drugu jednačinu $\sin 4x = 0 .$

4x = m\pi \implies x = \frac{m\pi}{4}, \quad m \in \mathbb{Z}

Primećujemo da su rešenja druge jednačine podskup rešenja prve jednačine (za parno $k = 2m$ ). Zato je konačno rešenje unija ova dva skupa, što se svodi na rešenje prve jednačine:

x = \frac{k\pi}{8}, \quad k \in \mathbb{Z}

Započni učenje

Online časovi

931

Beleške