2883.

Trigonometrijske jednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

cos⁡(π2+5x)+sin⁡x=2cos⁡3x\cos \left( \frac{\pi}{2} + 5x \right) + \sin x = 2 \cos 3x
REŠENJE ZADATKA

Koristimo formulu za svođenje na prvi kvadrant: cos⁡(π2+α)=−sin⁡α. \cos \left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right) = -\sin \alpha . Primenom na prvi sabirak dobijamo:

−sin⁡5x+sin⁡x=2cos⁡3x-\sin 5x + \sin x = 2 \cos 3x

Grupisaćemo sinuse na levoj strani i primeniti formulu za razliku sinusa: sin⁡α−sin⁡β=2cos⁡α+β2sin⁡α−β2. \sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} .

2cos⁡x+5x2sin⁡x−5x2=2cos⁡3x2 \cos \frac{x + 5x}{2} \sin \frac{x - 5x}{2} = 2 \cos 3x

Sređujemo argumente u trigonometrijskim funkcijama:

2cos⁡3xsin⁡(−2x)=2cos⁡3x2 \cos 3x \sin (-2x) = 2 \cos 3x

Kako je sinus neparna funkcija, važi sin⁡(−2x)=−sin⁡2x. \sin(-2x) = -\sin 2x . Jednačina postaje:

−2cos⁡3xsin⁡2x=2cos⁡3x-2 \cos 3x \sin 2x = 2 \cos 3x

Prebacujemo sve članove na levu stranu i izvlačimo zajednički činilac −2cos⁡3x: -2 \cos 3x :

−2cos⁡3x(sin⁡2x+1)=0-2 \cos 3x (\sin 2x + 1) = 0

Proizvod je jednak nuli ako i samo ako je bar jedan od činilaca jednak nuli. Dobijamo dve jednačine:

cos⁡3x=0∨sin⁡2x+1=0\cos 3x = 0 \quad \lor \quad \sin 2x + 1 = 0

Rešavamo prvu jednačinu:

cos⁡3x=0  ⟹  3x=π2+kπ,k∈Z\cos 3x = 0 \implies 3x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Deljenjem sa 3 dobijamo prvu grupu rešenja:

x=π6+kπ3,k∈Zx = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}

Rešavamo drugu jednačinu:

sin⁡2x=−1  ⟹  2x=−π2+2mπ,m∈Z\sin 2x = -1 \implies 2x = -\frac{\pi}{2} + 2m\pi, \quad m \in \mathbb{Z}

Deljenjem sa 2 dobijamo drugu grupu rešenja:

x=−π4+mπ,m∈Zx = -\frac{\pi}{4} + m\pi, \quad m \in \mathbb{Z}

Konačno rešenje je unija rešenja ove dve jednačine:

x∈{π6+kπ3∣k∈Z}∪{−π4+mπ∣m∈Z}x \in \left\{ \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3} \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \cup \left\{ -\frac{\pi}{4} + m\pi \mid m \in \mathbb{Z} \right\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti