Jednačina sa kosinusom pi/2 plus 5x i sinusom x

Koristimo formulu za svođenje na prvi kvadrant: $\cos \left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right) = -\sin \alpha .$ Primenom na prvi sabirak dobijamo:

-\sin 5x + \sin x = 2 \cos 3x

Grupisaćemo sinuse na levoj strani i primeniti formulu za razliku sinusa: $\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} .$

2 \cos \frac{x + 5x}{2} \sin \frac{x - 5x}{2} = 2 \cos 3x

Sređujemo argumente u trigonometrijskim funkcijama:

2 \cos 3x \sin (-2x) = 2 \cos 3x

Kako je sinus neparna funkcija, važi $\sin(-2x) = -\sin 2x .$ Jednačina postaje:

-2 \cos 3x \sin 2x = 2 \cos 3x

Prebacujemo sve članove na levu stranu i izvlačimo zajednički činilac $-2 \cos 3x :$

-2 \cos 3x (\sin 2x + 1) = 0

Proizvod je jednak nuli ako i samo ako je bar jedan od činilaca jednak nuli. Dobijamo dve jednačine:

\cos 3x = 0 \quad \lor \quad \sin 2x + 1 = 0

Rešavamo prvu jednačinu:

\cos 3x = 0 \implies 3x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Deljenjem sa 3 dobijamo prvu grupu rešenja:

x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}

Rešavamo drugu jednačinu:

\sin 2x = -1 \implies 2x = -\frac{\pi}{2} + 2m\pi, \quad m \in \mathbb{Z}

Deljenjem sa 2 dobijamo drugu grupu rešenja:

x = -\frac{\pi}{4} + m\pi, \quad m \in \mathbb{Z}

Konačno rešenje je unija rešenja ove dve jednačine:

x \in \left\{ \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3} \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \cup \left\{ -\frac{\pi}{4} + m\pi \mid m \in \mathbb{Z} \right\}

Započni učenje

Online časovi

943

Beleške