2872. Trigonometrijske jednačine

Određujemo uslove definisanosti jednačine. Tangens i kotangens moraju biti definisani, što znači da imenioci ne smeju biti nula.

\sin \frac{x}{2} \neq 0 \quad \text{i} \quad \cos \frac{x}{2} \neq 0 \implies \sin x \neq 0 \implies x \neq k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Transformišemo levu stranu jednačine koristeći formulu za razliku sinusa: $\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} .$

\sin \left( \frac{\pi}{4} + x \right) - \sin \left( \frac{\pi}{4} - x \right) = 2 \cos \frac{\pi}{4} \sin x = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x = \sqrt{2} \sin x

Transformišemo izraz u zagradi na desnoj strani jednačine izražavajući tangens i kotangens preko sinusa i kosinusa.

\operatorname{tg} \frac{x}{2} + \operatorname{ctg} \frac{x}{2} = \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} + \frac{\cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} = \frac{\sin^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}

Primenjujemo osnovni trigonometrijski identitet $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ i formulu za sinus dvostrukog ugla $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} .$

\frac{1}{\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2} \sin x} = \frac{2}{\sin x}

Zamenjujemo dobijene izraze za levu i desnu stranu nazad u početnu jednačinu.

\sqrt{2} \sin x = \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{2}{\sin x}

Sređujemo desnu stranu jednačine.

\sqrt{2} \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2 \sin x}

Množimo jednačinu sa $\frac{\sin x}{\sqrt{2}} ,$ što je dozvoljeno jer smo utvrdili da je $\sin x \neq 0 .$

\sin^2 x = \frac{1}{2}

Korenovanjem dobijamo dve moguće vrednosti za sinus.

\sin x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}

Zapisujemo konačna rešenja. Rešenja za $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ su $x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi$ i $x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi ,$ a za $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ su $x = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi$ i $x = -\frac{3\pi}{4} + 2k\pi .$ Sva ova rešenja se mogu objediniti u jedan izraz.

x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}

942