2581.

Trigonometrijske funkcije poluugla

TEKST ZADATKA

Uprostiti sledeći trigonometrijski izraz:

1+tg2(π4−α2)1 + \text{tg}^2 \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)
REŠENJE ZADATKA

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet koji povezuje tangens i kosinus: 1+tg2x=1cos⁡2x. 1 + \text{tg}^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} . U našem slučaju, argument je x=π4−α2. x = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2} .

1+tg2(π4−α2)=1cos⁡2(π4−α2)1 + \text{tg}^2 \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1}{\cos^2 \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)}

Primenjujemo formulu za kvadrat kosinusa preko polovičnog ugla ili direktno transformišemo imenilac koristeći adicionu formulu za kosinus razlike: cos⁡(x−y)=cos⁡xcos⁡y+sin⁡xsin⁡y. \cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y .

cos⁡(π4−α2)=cos⁡π4cos⁡α2+sin⁡π4sin⁡α2\cos \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right) = \cos \frac{\pi}{4} \cos \frac{\alpha}{2} + \sin \frac{\pi}{4} \sin \frac{\alpha}{2}

Zamenjujemo poznate vrednosti cos⁡π4=22 \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} i sin⁡π4=22. \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} .

cos⁡(π4−α2)=22cos⁡α2+22sin⁡α2=22(cos⁡α2+sin⁡α2)\cos \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos \frac{\alpha}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \left( \cos \frac{\alpha}{2} + \sin \frac{\alpha}{2} \right)

Sada kvadriramo dobijeni izraz u imeniocu:

cos⁡2(π4−α2)=[22(cos⁡α2+sin⁡α2)]2=24(cos⁡2α2+2sin⁡α2cos⁡α2+sin⁡2α2)\cos^2 \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right) = \left[ \frac{\sqrt{2}}{2} \left( \cos \frac{\alpha}{2} + \sin \frac{\alpha}{2} \right) \right]^2 = \frac{2}{4} \left( \cos^2 \frac{\alpha}{2} + 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} + \sin^2 \frac{\alpha}{2} \right)

Koristimo identitete sin⁡2x+cos⁡2x=1 \sin^2 x + \cos^2 x = 1 i 2sin⁡xcos⁡x=sin⁡2x. 2 \sin x \cos x = \sin 2x . U našem slučaju 2sin⁡α2cos⁡α2=sin⁡α. 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} = \sin \alpha .

cos⁡2(π4−α2)=12(1+sin⁡α)\cos^2 \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1}{2} (1 + \sin \alpha)

Vraćamo se na početni izraz i zamenjujemo izračunati imenilac:

1+tg2(π4−α2)=112(1+sin⁡α)=21+sin⁡α1 + \text{tg}^2 \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1}{\frac{1}{2}(1 + \sin \alpha)} = \frac{2}{1 + \sin \alpha}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti