2584.

Trigonometrijske funkcije poluugla

TEKST ZADATKA

Uprostiti izraz:

1−sin⁡α1+sin⁡α−tg2(π4−α2)\frac{1 - \sin \alpha}{1 + \sin \alpha} - \text{tg}^2 \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo transformisati izraz 1−sin⁡α1+sin⁡α. \frac{1 - \sin \alpha}{1 + \sin \alpha} . Koristimo identitete 1=sin⁡2α2+cos⁡2α2 1 = \sin^2 \frac{\alpha}{2} + \cos^2 \frac{\alpha}{2} i sin⁡α=2sin⁡α2cos⁡α2. \sin \alpha = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} .

1−sin⁡α1+sin⁡α=cos⁡2α2−2sin⁡α2cos⁡α2+sin⁡2α2cos⁡2α2+2sin⁡α2cos⁡α2+sin⁡2α2\frac{1 - \sin \alpha}{1 + \sin \alpha} = \frac{\cos^2 \frac{\alpha}{2} - 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} + \sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2} + 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} + \sin^2 \frac{\alpha}{2}}

Prepoznajemo kvadrate binoma u brojiocu i imeniocu:

(cos⁡α2−sin⁡α2)2(cos⁡α2+sin⁡α2)2=(cos⁡α2−sin⁡α2cos⁡α2+sin⁡α2)2\frac{\left(\cos \frac{\alpha}{2} - \sin \frac{\alpha}{2}\right)^2}{\left(\cos \frac{\alpha}{2} + \sin \frac{\alpha}{2}\right)^2} = \left( \frac{\cos \frac{\alpha}{2} - \sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2} + \sin \frac{\alpha}{2}} \right)^2

Deljenjem brojioca i imenioca sa cos⁡α2 \cos \frac{\alpha}{2} unutar zagrade, dobijamo:

(1−tgα21+tgα2)2\left( \frac{1 - \text{tg} \frac{\alpha}{2}}{1 + \text{tg} \frac{\alpha}{2}} \right)^2

Koristimo adicionu formulu za tangens razlike tg(π4−x)=1−tgx1+tgx: \text{tg}(\frac{\pi}{4} - x) = \frac{1 - \text{tg} x}{1 + \text{tg} x} :

(tg(π4−α2))2=tg2(π4−α2)\left( \text{tg} \left( \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2} \right) \right)^2 = \text{tg}^2 \left( \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2} \right)

Sada zamenjujemo transformisani prvi deo nazad u početni izraz:

tg2(π4−α2)−tg2(π4−α2)\text{tg}^2 \left( \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2} \right) - \text{tg}^2 \left( \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2} \right)

Oduzimanjem identičnih članova dobijamo krajnji rezultat:

00

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti