2583.

Trigonometrijske funkcije poluugla

TEKST ZADATKA

Uprostiti izraz:

sin⁡160∘cos⁡440∘−sin⁡440∘\frac{\sin 160^\circ}{\cos^4 40^\circ - \sin^4 40^\circ}
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo transformisati imenilac koristeći formulu za razliku kvadrata a4−b4=(a2−b2)(a2+b2). a^4 - b^4 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) .

cos⁡440∘−sin⁡440∘=(cos⁡240∘−sin⁡240∘)(cos⁡240∘+sin⁡240∘)\cos^4 40^\circ - \sin^4 40^\circ = (\cos^2 40^\circ - \sin^2 40^\circ)(\cos^2 40^\circ + \sin^2 40^\circ)

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2α+cos⁡2α=1 \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 i formulu za kosinus dvostrukog ugla cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α. \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha .

cos⁡240∘+sin⁡240∘=1cos⁡240∘−sin⁡240∘=cos⁡(2⋅40∘)=cos⁡80∘\begin{aligned} \cos^2 40^\circ + \sin^2 40^\circ &= 1 \\ \cos^2 40^\circ - \sin^2 40^\circ &= \cos(2 \cdot 40^\circ) = \cos 80^\circ \end{aligned}

Sada imenilac dobija jednostavniji oblik.

cos⁡440∘−sin⁡440∘=cos⁡80∘⋅1=cos⁡80∘\cos^4 40^\circ - \sin^4 40^\circ = \cos 80^\circ \cdot 1 = \cos 80^\circ

Zatim transformišemo brojilac koristeći formulu za sinus suplementnog ugla sin⁡(180∘−α)=sin⁡α. \sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha .

sin⁡160∘=sin⁡(180∘−20∘)=sin⁡20∘\sin 160^\circ = \sin(180^\circ - 20^\circ) = \sin 20^\circ

Vraćamo transformisane delove u početni izraz.

sin⁡20∘cos⁡80∘\frac{\sin 20^\circ}{\cos 80^\circ}

Koristimo vezu između sinusa i kosinusa komplementnih uglova cos⁡α=sin⁡(90∘−α). \cos \alpha = \sin(90^\circ - \alpha) .

cos⁡80∘=sin⁡(90∘−80∘)=sin⁡10∘\cos 80^\circ = \sin(90^\circ - 80^\circ) = \sin 10^\circ

Sada primenjujemo formulu za sinus dvostrukog ugla sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha na brojilac.

sin⁡20∘=2sin⁡10∘cos⁡10∘\sin 20^\circ = 2 \sin 10^\circ \cos 10^\circ

Konačno računamo vrednost izraza skraćivanjem zajedničkih faktora.

2sin⁡10∘cos⁡10∘sin⁡10∘=2cos⁡10∘\frac{2 \sin 10^\circ \cos 10^\circ}{\sin 10^\circ} = 2 \cos 10^\circ

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti