Kosinus dvostrukog ugla: sin 160° kroz cos i sin 40°

Prvo ćemo transformisati imenilac koristeći formulu za razliku kvadrata $a^4 - b^4 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) .$

\cos^4 40^\circ - \sin^4 40^\circ = (\cos^2 40^\circ - \sin^2 40^\circ)(\cos^2 40^\circ + \sin^2 40^\circ)

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ i formulu za kosinus dvostrukog ugla $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha .$

\begin{aligned} \cos^2 40^\circ + \sin^2 40^\circ &= 1 \\ \cos^2 40^\circ - \sin^2 40^\circ &= \cos(2 \cdot 40^\circ) = \cos 80^\circ \end{aligned}

Sada imenilac dobija jednostavniji oblik.

\cos^4 40^\circ - \sin^4 40^\circ = \cos 80^\circ \cdot 1 = \cos 80^\circ

Zatim transformišemo brojilac koristeći formulu za sinus suplementnog ugla $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha .$

\sin 160^\circ = \sin(180^\circ - 20^\circ) = \sin 20^\circ

Vraćamo transformisane delove u početni izraz.

\frac{\sin 20^\circ}{\cos 80^\circ}

Koristimo vezu između sinusa i kosinusa komplementnih uglova $\cos \alpha = \sin(90^\circ - \alpha) .$

\cos 80^\circ = \sin(90^\circ - 80^\circ) = \sin 10^\circ

Sada primenjujemo formulu za sinus dvostrukog ugla $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$ na brojilac.

\sin 20^\circ = 2 \sin 10^\circ \cos 10^\circ

Konačno računamo vrednost izraza skraćivanjem zajedničkih faktora.

\frac{2 \sin 10^\circ \cos 10^\circ}{\sin 10^\circ} = 2 \cos 10^\circ

Započni učenje

Online časovi

732.g

Beleške