2881. Trigonometrijske jednačine

Koristimo formulu za snižavanje stepena:

\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}

Primenom ove formule na datu jednačinu dobijamo:

\frac{1 - \cos 4x}{2} + \frac{1 - \cos 10x}{2} = 1

Množenjem cele jednačine sa 2 i grupisanjem sabiraka imamo:

1 - \cos 4x + 1 - \cos 10x = 2

Kada oduzmemo 2 sa obe strane, jednačina se svodi na:

\cos 4x + \cos 10x = 0

Koristimo formulu za transformaciju zbira kosinusa u proizvod: $\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} .$

2 \cos \frac{4x + 10x}{2} \cos \frac{4x - 10x}{2} = 0

Sređivanjem argumenata i korišćenjem parnosti kosinusa ( $\cos(-3x) = \cos 3x$ ) dobijamo:

2 \cos 7x \cos 3x = 0

Proizvod je jednak nuli ako je bar jedan od činilaca jednak nuli. Dobijamo dve jednačine:

\cos 7x = 0 \quad \lor \quad \cos 3x = 0

Rešavamo prvu jednačinu:

7x = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x = \frac{\pi}{14} + \frac{k\pi}{7}, \quad k \in \mathbb{Z}

Rešavamo drugu jednačinu:

3x = \frac{\pi}{2} + m\pi \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{m\pi}{3}, \quad m \in \mathbb{Z}

Konačno rešenje je unija rešenja ove dve jednačine:

x = \frac{\pi}{14} + \frac{k\pi}{7} \quad \lor \quad x = \frac{\pi}{6} + \frac{m\pi}{3}, \quad k, m \in \mathbb{Z}

944