sin x + cos x = 1 + sin x cos x

TEKST ZADATKA

Rešiti jednačinu:

\sin{x}+\cos{x}=1+\sin{x}\cos{x}

REŠENJE ZADATKA

Prebaciti sve sabirke na levu stranu znaka jednakosti:

\sin{x}+\cos{x}-1-\sin{x}\cos{x}=0

Grupisati sabirke na sledeći način:

(\sin{x}-\sin{x}\cos{x})-(1-\cos{x})=0

Izvući zajednički činilac $\sin{x}$ ispred zagrade:

\sin{x}(1-\cos{x})-(1-\cos{x})=0

Izvući zajednički činilac $(1-\cos{x})$ ispred zagrade:

(1-\cos{x})(\sin{x}-1)=0

Prozvod je jednak nuli kada je bar jedan od činilaca jednak nuli.

1-\cos{x}=0 \quad \lor \quad \sin{x}-1=0

Rešavanjem prve jednačine dobija se:

x=0+2k\pi, \quad k \in Z

Rešavanjem druge jednačine dobija se:

x=\frac {\pi} 2+2k\pi, \quad k\in Z

Krajnje rešenje dobija se kada se spoje oba slučaja.

x \in \{2k\pi, \frac{\pi}{2}+2k\pi \}, \quad k \in \mathbb{Z}

7. Trigonometrijske jednačine