5124. Svojstva realnih funkcija

Pogledajmo najpre nekoliko vrednosti:

y(0)=1, \qquad y(0{,}4)=\frac{1{,}16}{1{,}4}\approx0{,}83, \qquad y(1)=1, \qquad y(2)=\frac53

Najmanja vrednost je negde između $0$ i $1 .$ Da bismo je tačno našli, uvodimo smenu $t=x+1$ ; za $x\geq0$ je $t\geq1 .$ Kako je $x=t-1 ,$ brojilac je $1+(t-1)^2=t^2-2t+2 ,$ pa razlomak delimo član po član:

y=\frac{t^2-2t+2}{t}=t-2+\frac{2}{t}

Izraz $t+\frac2t$ zapisujemo kao potpun kvadrat. Proverom ( $(\sqrt t)^2=t ,$ $\left(\sqrt{\frac2t}\right)^2=\frac2t ,$ a dvostruki proizvod je $2\sqrt t\cdot\sqrt{\frac2t}=2\sqrt2$ ) dobijamo:

\left(\sqrt t-\sqrt{\frac2t}\right)^2=t-2\sqrt2+\frac2t \implies t+\frac2t=\left(\sqrt t-\sqrt{\frac2t}\right)^2+2\sqrt2

Zato je:

y=\left(\sqrt t-\sqrt{\frac2t}\right)^2+2\sqrt2-2\geq2\sqrt2-2

Kvadrat nije negativan, pa je $y\geq2\sqrt2-2\approx0{,}83 .$ Jednakost važi kada je kvadrat jednak nuli:

\sqrt t=\sqrt{\frac2t} \iff t=\frac2t \iff t^2=2 \iff t=\sqrt2 \iff x=\sqrt2-1

Kako je $\sqrt2-1\approx0{,}41\geq0 ,$ ta vrednost zadovoljava uslov zadatka. Funkcija dostiže najmanju vrednost $2\sqrt2-2$ samo za $x=\sqrt2-1 .$

Započni učenje

Online časovi

98.g

Beleške