5125. Svojstva realnih funkcija

Izraz $|x-p|$ je rastojanje tačke $x$ od tačke $p$ na brojevnoj pravoj. Funkcija je, dakle, zbir rastojanja tačke $x$ od četiri date tačke, a tražimo gde je taj zbir najmanji. Po definiciji apsolutne vrednosti, za svaki od brojeva $p\in\{a,b,c,d\}$ je:

|x-p|=\begin{cases} x-p, & \text{za } x\geq p \\ p-x, & \text{za } x<p \end{cases}

Tačke $a<b<c<d$ dele pravu na pet delova. Na svakom delu znamo koje su tačke levo od $x$ (za njih je $|x-p|=x-p$ ), a koje desno (za njih je $|x-p|=p-x$ ). Na primer, za $b\leq x\leq c :$ $(x-a)+(x-b)+(c-x)+(d-x)=c+d-a-b .$ Za svih pet delova dobijamo:

y=\begin{cases} a+b+c+d-4x, & x<a \\ b+c+d-a-2x, & a\leq x<b \\ c+d-a-b, & b\leq x\leq c \\ 2x+d-a-b-c, & c<x\leq d \\ 4x-a-b-c-d, & x>d \end{cases}

Na delu $[b,c]$ funkcija je stalno jednaka $c+d-a-b .$ Oduzmemo tu vrednost na ostalim delovima i proverimo znak razlike:

y-(c+d-a-b)=\begin{cases} 2(a-x)+2(b-x)>0, & x<a \\ 2(b-x)>0, & a\leq x<b \\ 2(x-c)>0, & c<x\leq d \\ 2(x-c)+2(x-d)>0, & x>d \end{cases}

Svaka razlika je pozitivna, jer su u zagradama pozitivni brojevi (npr. za $x<a$ je $a-x>0$ i $b-x>0$ ). Izvan $[b,c]$ funkcija je, dakle, veća od $c+d-a-b .$

Funkcija dostiže najmanju vrednost $c+d-a-b$ za sve $x\in[b,c] ,$ tj. za svako $x$ između dve srednje tačke.

Započni učenje

Online časovi

98.v

Beleške