244.a

Ispitujemo redom: domen, nule i znak, parnost, asimptote, monotonost i ekstremume, konveksnost, pa crtamo grafik. Funkcija je definisana za svako $x .$

Nule i znak: $x^2-2x+3=(x-1)^2+2>0 ,$ a na $(1,3)$ je $-x^2+6x-3$ između $f(1)=2$ i $f(3)=6$ i takođe pozitivno (najmanja vrednost na krajevima). Funkcija je pozitivna svuda i nema nula; $f(0)=3 .$

Parnost: $f(1)=2 ,$ a $f(-1)=8-2=6 ,$ pa funkcija nije ni parna ni neparna. Asimptota nema: oba izraza su polinomi drugog stepena, pa $f(x)\to+\infty$ kada $x\to\pm\infty ,$ a $\frac{f(x)}x$ ne teži konačnom broju.

Iz gradiva: diferencijabilna funkcija $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ je na intervalu $(a,b)$ rastuća ako i samo ako je $f'(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a opadajuća ako i samo ako je $f'(x)\leq0$ za sve $x\in(a,b) .$ Zato monotonost određujemo iz znaka prvog izvoda. Iz gradiva: ako $f'(x)$ menja znak kada $x$ prolazi kroz $x_0 ,$ tada je $x_0$ tačka strogog lokalnog ekstrema: prelaz sa $-$ na $+$ daje minimum, a sa $+$ na $-$ maksimum.

U $x=1$ izvod sleva teži $0 ,$ a zdesna $4$; u $x=3$ sleva $0 ,$ zdesna $4 .$ Izvod u tim tačkama ne postoji (grafik ima „prelom”).

U $x=1$ izvod menja znak sa $-$ na $+$ (funkcija je neprekidna), pa je to lokalni minimum $f(1)=2 .$ U $x=3$ znak se ne menja, pa ekstremuma nema.

Iz gradiva: funkcija je konveksna na $(a,b)$ ako i samo ako je $f''(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a konkavna ako i samo ako je $f''(x)\leq0 .$ Ako $f''(x)$ menja znak pri prolazu kroz $x_0 ,$ tada je $(x_0,f(x_0))$ prevojna tačka.

Drugi izvod je $f''(x)=2>0$ za $x<1$ ili $x>3 ,$ a $f''(x)=-2<0$ za $1<x<3 .$ Konveksnost se menja u $x=1$ i $x=3 ,$ ali u tim tačkama funkcija nije diferencijabilna (grafik nema tangentu), pa uslovi teoreme iz gradiva nisu ispunjeni i ne govorimo o prevojnim tačkama, već o tačkama preloma.

Rezime: funkcija je pozitivna, opada na $(-\infty,1)$ i raste na $(1,+\infty)$; lokalni minimum je $(1,2)$; konveksna je na $(-\infty,1)$ i $(3,+\infty) ,$ a konkavna na $(1,3)$; u $x=1$ i $x=3$ grafik ima prelom.