244.b

Funkcija je parna: $f(-x)=(-x)^2-4|-x|+3=x^2-4|x|+3=f(x) ,$ pa je grafik simetričan u odnosu na $y$-osu i dovoljno je ispitati $x\ge0 .$

Nule: $x=\pm1$ i $x=\pm3$; $f(0)=3 .$ Znak (za $x\ge0$): pozitivna na $[0,1)$ i $(3,+\infty) ,$ negativna na $(1,3)$; simetrično za $x<0 .$ Asimptota nema (polinomski izrazi).

Iz gradiva: diferencijabilna funkcija $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ je na intervalu $(a,b)$ rastuća ako i samo ako je $f'(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a opadajuća ako i samo ako je $f'(x)\leq0$ za sve $x\in(a,b) .$ Zato monotonost određujemo iz znaka prvog izvoda. Iz gradiva: ako $f'(x)$ menja znak kada $x$ prolazi kroz $x_0 ,$ tada je $x_0$ tačka strogog lokalnog ekstrema: prelaz sa $-$ na $+$ daje minimum, a sa $+$ na $-$ maksimum.

Lokalni minimumi su u $x=\pm2 :$ $f(\pm2)=4-8+3=-1 .$ U $x=0$ izvod ne postoji (sleva teži $4 ,$ zdesna $-4$), ali izvod menja znak sa $+$ na $- ,$ pa je $(0,3)$ lokalni maksimum (sa „šiljkom”).

Iz gradiva: funkcija je konveksna na $(a,b)$ ako i samo ako je $f''(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a konkavna ako i samo ako je $f''(x)\leq0 .$ Ako $f''(x)$ menja znak pri prolazu kroz $x_0 ,$ tada je $(x_0,f(x_0))$ prevojna tačka. Ovde je $f''(x)=2>0$ za svako $x\neq0 ,$ pa je funkcija konveksna na $(-\infty,0)$ i na $(0,+\infty)$ i prevojnih tačaka nema.

Rezime: funkcija je parna, nule su $\pm1$ i $\pm3$; opada na $(-\infty,-2)$ i $(0,2) ,$ raste na $(-2,0)$ i $(2,+\infty)$; minimumi $(\pm2,-1) ,$ maksimum $(0,3)$; konveksna je na oba dela, bez prevojnih tačaka.