243.z

Ispitujemo redom: oblast definisanosti, nule i znak, parnost, asimptote, monotonost i ekstremume (prvi izvod), konveksnost i prevojne tačke (drugi izvod), pa crtamo grafik.

Funkcija je polinom, pa je definisana za svako realno $x .$ Oblast definisanosti je $D=\mathbb{R} .$

Nule nalazimo iz jednačine $f(x)=0 .$ Rešenja u oblasti definisanosti su $x=- \sqrt{2}\approx-1{,}414 ,$ $x=0 ,$ $x=\sqrt{2}\approx1{,}414 .$

Presek sa $y$-osom: $f(0)=0 .$

Znak funkcije određujemo iz znakova činilaca:

Funkcija je definisana i neprekidna na celom $\mathbb{R} ,$ pa nema vertikalnih asimptota.

Iz gradiva: diferencijabilna funkcija $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ je na intervalu $(a,b)$ rastuća ako i samo ako je $f'(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a opadajuća ako i samo ako je $f'(x)\leq0$ za sve $x\in(a,b) .$ Zato monotonost određujemo iz znaka prvog izvoda. Iz gradiva: ako $f'(x)$ menja znak kada $x$ prolazi kroz $x_0 ,$ tada je $x_0$ tačka strogog lokalnog ekstrema: prelaz sa $-$ na $+$ daje minimum, a sa $+$ na $-$ maksimum.

Prvi izvod je jednak nuli ili ne postoji u tačkama $x=-1 ,$ $x=0 ,$ $x=1 .$ One, zajedno sa tačkama prekida, dele oblast definisanosti na intervale na kojima izvod ima stalan znak.

Funkcija raste na $(-1,0)$ i na $(1,+\infty) ,$ a opada na $(-\infty,-1)$ i na $(0,1) .$

U tački $x=-1$ izvod menja znak sa $-$ na $+ ,$ pa je to lokalni minimum: $f(-1)=- \frac{1}{4} .$ U tački $x=0$ izvod menja znak sa $+$ na $- ,$ pa je to lokalni maksimum: $f(0)=0 .$ U tački $x=1$ izvod menja znak sa $-$ na $+ ,$ pa je to lokalni minimum: $f(1)=- \frac{1}{4} .$

Iz gradiva: funkcija je konveksna na $(a,b)$ ako i samo ako je $f''(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a konkavna ako i samo ako je $f''(x)\leq0 .$ Ako $f''(x)$ menja znak pri prolazu kroz $x_0 ,$ tada je $(x_0,f(x_0))$ prevojna tačka.

Funkcija je konveksna ($\cup$) na $(-\infty,- \frac{\sqrt{3}}{3})$ i na $(\frac{\sqrt{3}}{3},+\infty) ,$ a konkavna ($\cap$) na $(- \frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}) .$ Drugi izvod menja znak u $x=- \frac{\sqrt{3}}{3}\approx-0{,}577 ,$ $x=\frac{\sqrt{3}}{3}\approx0{,}577 ,$ pa su prevojne tačke $\left(- \frac{\sqrt{3}}{3}\approx-0{,}577,\ - \frac{5}{36}\right) ,$ $\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\approx0{,}577,\ - \frac{5}{36}\right) .$

Rezime: funkcija raste na $(-1,0)$ i na $(1,+\infty) ,$ a opada na $(-\infty,-1)$ i na $(0,1)$; lokalni minimum $\left(-1,\ - \frac{1}{4}\right)$; lokalni maksimum $\left(0,\ 0\right)$; lokalni minimum $\left(1,\ - \frac{1}{4}\right)$; funkcija je konveksna ($\cup$) na $(-\infty,- \frac{\sqrt{3}}{3})$ i na $(\frac{\sqrt{3}}{3},+\infty) ,$ a konkavna ($\cap$) na $(- \frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3})$; prevojne tačke u $x=- \frac{\sqrt{3}}{3}\approx-0{,}577 ,$ $x=\frac{\sqrt{3}}{3}\approx0{,}577 .$ Na osnovu svega ovoga crtamo grafik.