5801. Ispitivanje toka funkcije

Ispitujemo redom: oblast definisanosti, nule i znak, parnost, asimptote, monotonost i ekstremume (prvi izvod), konveksnost i prevojne tačke (drugi izvod), pa crtamo grafik.

Funkcija je polinom, pa je definisana za svako realno $x .$ Oblast definisanosti je $D=\mathbb{R} .$

Nule nalazimo iz jednačine $f(x)=0 .$ Rešenja u oblasti definisanosti su $x=\frac{5}{2} - \frac{\sqrt{57}}{2}\approx-1{,}275 ,$ $x=0 ,$ $x=\frac{5}{2} + \frac{\sqrt{57}}{2}\approx6{,}275 .$

Presek sa $y$ -osom: $f(0)=0 .$

Znak funkcije određujemo iz znakova činilaca:

x\in(-\infty,\frac{5}{2} - \frac{\sqrt{57}}{2})

x\in(\frac{5}{2} - \frac{\sqrt{57}}{2},0)

x\in(0,\frac{5}{2} + \frac{\sqrt{57}}{2})

x\in(\frac{5}{2} + \frac{\sqrt{57}}{2},+\infty)

x

-

-

+

+

x^{2} - 5 x - 8

+

-

-

+

f(x)

-

+

-

+

Funkcija nije ni parna ni neparna: na primer $f(1)=-4 ,$ a $f(-1)=\frac{2}{3} .$

Funkcija je definisana i neprekidna na celom $\mathbb{R} ,$ pa nema vertikalnih asimptota.

Kada $x\to+\infty$ je $\lim f(x)=+\infty ,$ a $\frac{f(x)}x$ ne teži konačnom broju različitom od nule, pa na toj strani nema ni horizontalne ni kose asimptote.

\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}x=+\infty

Kada $x\to-\infty$ je $\lim f(x)=-\infty ,$ a $\frac{f(x)}x$ ne teži konačnom broju različitom od nule, pa na toj strani nema ni horizontalne ni kose asimptote.

\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}x=+\infty

Iz gradiva: diferencijabilna funkcija $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ je na intervalu $(a,b)$ rastuća ako i samo ako je $f'(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a opadajuća ako i samo ako je $f'(x)\leq0$ za sve $x\in(a,b) .$ Zato monotonost određujemo iz znaka prvog izvoda. Iz gradiva: ako $f'(x)$ menja znak kada $x$ prolazi kroz $x_0 ,$ tada je $x_0$ tačka strogog lokalnog ekstrema: prelaz sa $-$ na $+$ daje minimum, a sa $+$ na $-$ maksimum.

Prvi izvod nalazimo pravilima za izvod zbira, proizvoda, količnika i složene funkcije, pa ga rastavljamo na činioce:

f'(x)=x^{2} - \frac{10 x}{3} - \frac{8}{3}=\frac{\left(x - 4\right) \left(3 x + 2\right)}{3}

Prvi izvod je jednak nuli ili ne postoji u tačkama $x=- \frac{2}{3} ,$ $x=4 .$ One, zajedno sa tačkama prekida, dele oblast definisanosti na intervale na kojima izvod ima stalan znak.

x\in(-\infty,- \frac{2}{3})

x\in(- \frac{2}{3},4)

x\in(4,+\infty)

x - 4

-

-

+

3 x + 2

-

+

+

f'(x)

+

-

+

f(x)

\nearrow

\searrow

\nearrow

Funkcija raste na $(-\infty,- \frac{2}{3})$ i na $(4,+\infty) ,$ a opada na $(- \frac{2}{3},4) .$

U tački $x=- \frac{2}{3}$ izvod menja znak sa $+$ na $- ,$ pa je to lokalni maksimum: $f(- \frac{2}{3})=\frac{76}{81} .$ U tački $x=4$ izvod menja znak sa $-$ na $+ ,$ pa je to lokalni minimum: $f(4)=-16 .$

Iz gradiva: funkcija je konveksna na $(a,b)$ ako i samo ako je $f''(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a konkavna ako i samo ako je $f''(x)\leq0 .$ Ako $f''(x)$ menja znak pri prolazu kroz $x_0 ,$ tada je $(x_0,f(x_0))$ prevojna tačka.

Drugi izvod je izvod prvog izvoda. Diferenciramo $f'(x)$ i sređujemo:

f''(x)=\frac{2 \left(3 x - 5\right)}{3}

x\in(-\infty,\frac{5}{3})

x\in(\frac{5}{3},+\infty)

3 x - 5

-

+

f''(x)

-

+

f(x)

\cap

\cup

Funkcija je konveksna ( $\cup$ ) na $(\frac{5}{3},+\infty) ,$ a konkavna ( $\cap$ ) na $(-\infty,\frac{5}{3}) .$ Drugi izvod menja znak u $x=\frac{5}{3} ,$ pa je prevojna tačka $\left(\frac{5}{3},\ - \frac{610}{81}\right) .$

Rezime: funkcija raste na $(-\infty,- \frac{2}{3})$ i na $(4,+\infty) ,$ a opada na $(- \frac{2}{3},4)$ ; lokalni maksimum $\left(- \frac{2}{3},\ \frac{76}{81}\right)$ ; lokalni minimum $\left(4,\ -16\right)$ ; funkcija je konveksna ( $\cup$ ) na $(\frac{5}{3},+\infty) ,$ a konkavna ( $\cap$ ) na $(-\infty,\frac{5}{3})$ ; prevojne tačke u $x=\frac{5}{3} .$ Na osnovu svega ovoga crtamo grafik.

Započni učenje

Online časovi

243.đ

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci