243.j

Ispitujemo redom: oblast definisanosti, nule i znak, parnost, asimptote, monotonost i ekstremume (prvi izvod), konveksnost i prevojne tačke (drugi izvod), pa crtamo grafik.

Funkcija je polinom, pa je definisana za svako realno $x .$ Oblast definisanosti je $D=\mathbb{R} .$

Nule nalazimo iz jednačine $f(x)=0 .$ Rešenja u oblasti definisanosti su $x=-2 ,$ $x\approx-0{,}28 .$

Ova jednačina nema racionalnih rešenja, pa nule određujemo približno. Svaka nula leži između dva cela broja u kojima funkcija ima suprotne znakove: $f(-1)=- \frac{22}{15}$ i $f(0)=\frac{16}{15} .$ Sužavanjem tih intervala dobijamo navedene približne vrednosti.

Presek sa $y$-osom: $f(0)=\frac{16}{15} .$

Znak funkcije određujemo iz znakova činilaca:

Funkcija nije ni parna ni neparna: na primer $f(1)=\frac{18}{5} ,$ a $f(-1)=- \frac{22}{15} .$

Funkcija je definisana i neprekidna na celom $\mathbb{R} ,$ pa nema vertikalnih asimptota.

Iz gradiva: diferencijabilna funkcija $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ je na intervalu $(a,b)$ rastuća ako i samo ako je $f'(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a opadajuća ako i samo ako je $f'(x)\leq0$ za sve $x\in(a,b) .$ Zato monotonost određujemo iz znaka prvog izvoda. Iz gradiva: ako $f'(x)$ menja znak kada $x$ prolazi kroz $x_0 ,$ tada je $x_0$ tačka strogog lokalnog ekstrema: prelaz sa $-$ na $+$ daje minimum, a sa $+$ na $-$ maksimum.

Prvi izvod je jednak nuli ili ne postoji u tačkama $x=-2 ,$ $x=-1 ,$ $x=1 ,$ $x=2 .$ One, zajedno sa tačkama prekida, dele oblast definisanosti na intervale na kojima izvod ima stalan znak.

Funkcija raste na $(-\infty,-2)$ i na $(-1,1)$ i na $(2,+\infty) ,$ a opada na $(-2,-1)$ i na $(1,2) .$

U tački $x=-2$ izvod menja znak sa $+$ na $- ,$ pa je to lokalni maksimum: $f(-2)=0 .$ U tački $x=-1$ izvod menja znak sa $-$ na $+ ,$ pa je to lokalni minimum: $f(-1)=- \frac{22}{15} .$ U tački $x=1$ izvod menja znak sa $+$ na $- ,$ pa je to lokalni maksimum: $f(1)=\frac{18}{5} .$ U tački $x=2$ izvod menja znak sa $-$ na $+ ,$ pa je to lokalni minimum: $f(2)=\frac{32}{15} .$

Iz gradiva: funkcija je konveksna na $(a,b)$ ako i samo ako je $f''(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a konkavna ako i samo ako je $f''(x)\leq0 .$ Ako $f''(x)$ menja znak pri prolazu kroz $x_0 ,$ tada je $(x_0,f(x_0))$ prevojna tačka.

Funkcija je konveksna ($\cup$) na $(- \frac{\sqrt{10}}{2},0)$ i na $(\frac{\sqrt{10}}{2},+\infty) ,$ a konkavna ($\cap$) na $(-\infty,- \frac{\sqrt{10}}{2})$ i na $(0,\frac{\sqrt{10}}{2}) .$ Drugi izvod menja znak u $x=- \frac{\sqrt{10}}{2}\approx-1{,}581 ,$ $x=0 ,$ $x=\frac{\sqrt{10}}{2}\approx1{,}581 ,$ pa su prevojne tačke $\left(- \frac{\sqrt{10}}{2}\approx-1{,}581,\ \frac{16}{15} - \frac{13 \sqrt{10}}{24}\approx-0{,}646\right) ,$ $\left(0,\ \frac{16}{15}\right) ,$ $\left(\frac{\sqrt{10}}{2}\approx1{,}581,\ \frac{16}{15} + \frac{13 \sqrt{10}}{24}\approx2{,}78\right) .$

Rezime: funkcija raste na $(-\infty,-2)$ i na $(-1,1)$ i na $(2,+\infty) ,$ a opada na $(-2,-1)$ i na $(1,2)$; lokalni maksimum $\left(-2,\ 0\right)$; lokalni minimum $\left(-1,\ - \frac{22}{15}\right)$; lokalni maksimum $\left(1,\ \frac{18}{5}\right)$; lokalni minimum $\left(2,\ \frac{32}{15}\right)$; funkcija je konveksna ($\cup$) na $(- \frac{\sqrt{10}}{2},0)$ i na $(\frac{\sqrt{10}}{2},+\infty) ,$ a konkavna ($\cap$) na $(-\infty,- \frac{\sqrt{10}}{2})$ i na $(0,\frac{\sqrt{10}}{2})$; prevojne tačke u $x=- \frac{\sqrt{10}}{2}\approx-1{,}581 ,$ $x=0 ,$ $x=\frac{\sqrt{10}}{2}\approx1{,}581 .$ Na osnovu svega ovoga crtamo grafik.