243.ž

Ispitujemo redom: oblast definisanosti, nule i znak, parnost, asimptote, monotonost i ekstremume (prvi izvod), konveksnost i prevojne tačke (drugi izvod), pa crtamo grafik.

Funkcija je polinom, pa je definisana za svako realno $x .$ Oblast definisanosti je $D=\mathbb{R} .$

Nule nalazimo iz jednačine $f(x)=0 .$ Rešenja u oblasti definisanosti su $x=-1 ,$ $x=0 ,$ $x=2 .$

Presek sa $y$-osom: $f(0)=0 .$

Znak funkcije određujemo iz znakova činilaca:

Funkcija nije ni parna ni neparna: na primer $f(1)=-2 ,$ a $f(-1)=0 .$

Funkcija je definisana i neprekidna na celom $\mathbb{R} ,$ pa nema vertikalnih asimptota.

Iz gradiva: diferencijabilna funkcija $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ je na intervalu $(a,b)$ rastuća ako i samo ako je $f'(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a opadajuća ako i samo ako je $f'(x)\leq0$ za sve $x\in(a,b) .$ Zato monotonost određujemo iz znaka prvog izvoda. Iz gradiva: ako $f'(x)$ menja znak kada $x$ prolazi kroz $x_0 ,$ tada je $x_0$ tačka strogog lokalnog ekstrema: prelaz sa $-$ na $+$ daje minimum, a sa $+$ na $-$ maksimum.

Prvi izvod je jednak nuli ili ne postoji u tačkama $x=\frac{1}{3} - \frac{\sqrt{7}}{3}\approx-0{,}549 ,$ $x=\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}\approx1{,}215 .$ One, zajedno sa tačkama prekida, dele oblast definisanosti na intervale na kojima izvod ima stalan znak.

Funkcija raste na $(-\infty,\frac{1}{3} - \frac{\sqrt{7}}{3})$ i na $(\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3},+\infty) ,$ a opada na $(\frac{1}{3} - \frac{\sqrt{7}}{3},\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}) .$

U tački $x=\frac{1}{3} - \frac{\sqrt{7}}{3}\approx-0{,}549$ izvod menja znak sa $+$ na $- ,$ pa je to lokalni maksimum: $f(\frac{1}{3} - \frac{\sqrt{7}}{3})=- \frac{20}{27} + \frac{14 \sqrt{7}}{27}\approx0{,}631 .$ U tački $x=\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}\approx1{,}215$ izvod menja znak sa $-$ na $+ ,$ pa je to lokalni minimum: $f(\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3})=- \frac{14 \sqrt{7}}{27} - \frac{20}{27}\approx-2{,}113 .$

Iz gradiva: funkcija je konveksna na $(a,b)$ ako i samo ako je $f''(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a konkavna ako i samo ako je $f''(x)\leq0 .$ Ako $f''(x)$ menja znak pri prolazu kroz $x_0 ,$ tada je $(x_0,f(x_0))$ prevojna tačka.

Funkcija je konveksna ($\cup$) na $(\frac{1}{3},+\infty) ,$ a konkavna ($\cap$) na $(-\infty,\frac{1}{3}) .$ Drugi izvod menja znak u $x=\frac{1}{3} ,$ pa je prevojna tačka $\left(\frac{1}{3},\ - \frac{20}{27}\right) .$

Rezime: funkcija raste na $(-\infty,\frac{1}{3} - \frac{\sqrt{7}}{3})$ i na $(\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3},+\infty) ,$ a opada na $(\frac{1}{3} - \frac{\sqrt{7}}{3},\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3})$; lokalni maksimum $\left(\frac{1}{3} - \frac{\sqrt{7}}{3}\approx-0{,}549,\ - \frac{20}{27} + \frac{14 \sqrt{7}}{27}\approx0{,}631\right)$; lokalni minimum $\left(\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}\approx1{,}215,\ - \frac{14 \sqrt{7}}{27} - \frac{20}{27}\approx-2{,}113\right)$; funkcija je konveksna ($\cup$) na $(\frac{1}{3},+\infty) ,$ a konkavna ($\cap$) na $(-\infty,\frac{1}{3})$; prevojne tačke u $x=\frac{1}{3} .$ Na osnovu svega ovoga crtamo grafik.