5800. Ispitivanje toka funkcije

Tok funkcije ispitujemo po redu: domen, nule i znak, parnost, asimptote, prvi izvod (monotonost, ekstremumi), drugi izvod (konveksnost, prevoji) i na kraju skica grafika.

Funkcija je polinom, pa je definisana za svako realno $x .$ Oblast definisanosti je $D=\mathbb{R} .$

Grafik seče $x$ -osu tamo gde je $f(x)=0 .$ Rešenja u oblasti definisanosti su $x=- \frac{\sqrt{399}}{5} - \frac{18}{5}\approx-7{,}595 ,$ $x=0 ,$ $x=- \frac{18}{5} + \frac{\sqrt{399}}{5}\approx0{,}395 .$

Presek sa $y$ -osom: $f(0)=0 .$

Znak funkcije na intervalima između nula i tačaka prekida:

x\in(-\infty,- \frac{\sqrt{399}}{5} - \frac{18}{5})

x\in(- \frac{\sqrt{399}}{5} - \frac{18}{5},0)

x\in(0,- \frac{18}{5} + \frac{\sqrt{399}}{5})

x\in(- \frac{18}{5} + \frac{\sqrt{399}}{5},+\infty)

x

-

-

+

+

5 x^{2} + 36 x - 15

+

-

-

+

f(x)

+

-

+

-

Funkcija nije ni parna ni neparna: na primer $f(1)=- \frac{26}{15} ,$ a $f(-1)=- \frac{46}{15} .$

Funkcija je definisana i neprekidna na celom $\mathbb{R} ,$ pa nema vertikalnih asimptota.

Kada $x\to+\infty$ je $\lim f(x)=-\infty ,$ a $\frac{f(x)}x$ ne teži konačnom broju različitom od nule, pa na toj strani nema ni horizontalne ni kose asimptote.

\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}x=-\infty

Kada $x\to-\infty$ je $\lim f(x)=+\infty ,$ a $\frac{f(x)}x$ ne teži konačnom broju različitom od nule, pa na toj strani nema ni horizontalne ni kose asimptote.

\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}x=-\infty

Iz gradiva: diferencijabilna funkcija $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ je na intervalu $(a,b)$ rastuća ako i samo ako je $f'(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a opadajuća ako i samo ako je $f'(x)\leq0$ za sve $x\in(a,b) .$ Zato monotonost određujemo iz znaka prvog izvoda. Iz gradiva: ako $f'(x)$ menja znak kada $x$ prolazi kroz $x_0 ,$ tada je $x_0$ tačka strogog lokalnog ekstrema: prelaz sa $-$ na $+$ daje minimum, a sa $+$ na $-$ maksimum.

Računamo prvi izvod i sređujemo ga do oblika proizvoda, iz kog se lako čita znak:

f'(x)=- x^{2} - \frac{24 x}{5} + 1=- \frac{\left(x + 5\right) \left(5 x - 1\right)}{5}

Prvi izvod je jednak nuli ili ne postoji u tačkama $x=-5 ,$ $x=\frac{1}{5} .$ One, zajedno sa tačkama prekida, dele oblast definisanosti na intervale na kojima izvod ima stalan znak.

x\in(-\infty,-5)

x\in(-5,\frac{1}{5})

x\in(\frac{1}{5},+\infty)

5 x - 1

-

-

+

x + 5

-

+

+

f'(x)

-

+

-

f(x)

\searrow

\nearrow

\searrow

Funkcija raste na $(-5,\frac{1}{5}) ,$ a opada na $(-\infty,-5)$ i na $(\frac{1}{5},+\infty) .$

U tački $x=-5$ izvod menja znak sa $-$ na $+ ,$ pa je to lokalni minimum: $f(-5)=- \frac{70}{3} .$ U tački $x=\frac{1}{5}$ izvod menja znak sa $+$ na $- ,$ pa je to lokalni maksimum: $f(\frac{1}{5})=\frac{38}{375} .$

Iz gradiva: funkcija je konveksna na $(a,b)$ ako i samo ako je $f''(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a konkavna ako i samo ako je $f''(x)\leq0 .$ Ako $f''(x)$ menja znak pri prolazu kroz $x_0 ,$ tada je $(x_0,f(x_0))$ prevojna tačka.

Diferenciranjem prvog izvoda dobijamo drugi izvod:

f''(x)=- \frac{2 \left(5 x + 12\right)}{5}

x\in(-\infty,- \frac{12}{5})

x\in(- \frac{12}{5},+\infty)

5 x + 12

-

+

f''(x)

+

-

f(x)

\cup

\cap

Funkcija je konveksna ( $\cup$ ) na $(-\infty,- \frac{12}{5}) ,$ a konkavna ( $\cap$ ) na $(- \frac{12}{5},+\infty) .$ Drugi izvod menja znak u $x=- \frac{12}{5} ,$ pa je prevojna tačka $\left(- \frac{12}{5},\ - \frac{1452}{125}\right) .$

Rezime: funkcija raste na $(-5,\frac{1}{5}) ,$ a opada na $(-\infty,-5)$ i na $(\frac{1}{5},+\infty)$ ; lokalni minimum $\left(-5,\ - \frac{70}{3}\right)$ ; lokalni maksimum $\left(\frac{1}{5},\ \frac{38}{375}\right)$ ; funkcija je konveksna ( $\cup$ ) na $(-\infty,- \frac{12}{5}) ,$ a konkavna ( $\cap$ ) na $(- \frac{12}{5},+\infty)$ ; prevojne tačke u $x=- \frac{12}{5} .$ Na osnovu svega ovoga crtamo grafik.

Započni učenje

Online časovi

243.d

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci