243.e

Tok funkcije ispitujemo po redu: domen, nule i znak, parnost, asimptote, prvi izvod (monotonost, ekstremumi), drugi izvod (konveksnost, prevoji) i na kraju skica grafika.

Funkcija je polinom, pa je definisana za svako realno $x .$ Oblast definisanosti je $D=\mathbb{R} .$

Grafik seče $x$-osu tamo gde je $f(x)=0 .$ Rešenja u oblasti definisanosti su $x=-2 ,$ $x=0 ,$ $x=2 .$

Presek sa $y$-osom: $f(0)=0 .$

Znak funkcije na intervalima između nula i tačaka prekida:

Funkcija je definisana i neprekidna na celom $\mathbb{R} ,$ pa nema vertikalnih asimptota.

Iz gradiva: diferencijabilna funkcija $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ je na intervalu $(a,b)$ rastuća ako i samo ako je $f'(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a opadajuća ako i samo ako je $f'(x)\leq0$ za sve $x\in(a,b) .$ Zato monotonost određujemo iz znaka prvog izvoda. Iz gradiva: ako $f'(x)$ menja znak kada $x$ prolazi kroz $x_0 ,$ tada je $x_0$ tačka strogog lokalnog ekstrema: prelaz sa $-$ na $+$ daje minimum, a sa $+$ na $-$ maksimum.

Prvi izvod je jednak nuli ili ne postoji u tačkama $x=- \frac{2 \sqrt{3}}{3}\approx-1{,}155 ,$ $x=\frac{2 \sqrt{3}}{3}\approx1{,}155 .$ One, zajedno sa tačkama prekida, dele oblast definisanosti na intervale na kojima izvod ima stalan znak.

Funkcija raste na $(-\infty,- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ i na $(\frac{2 \sqrt{3}}{3},+\infty) ,$ a opada na $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3},\frac{2 \sqrt{3}}{3}) .$

U tački $x=- \frac{2 \sqrt{3}}{3}\approx-1{,}155$ izvod menja znak sa $+$ na $- ,$ pa je to lokalni maksimum: $f(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})=\frac{4 \sqrt{3}}{9}\approx0{,}77 .$ U tački $x=\frac{2 \sqrt{3}}{3}\approx1{,}155$ izvod menja znak sa $-$ na $+ ,$ pa je to lokalni minimum: $f(\frac{2 \sqrt{3}}{3})=- \frac{4 \sqrt{3}}{9}\approx-0{,}77 .$

Iz gradiva: funkcija je konveksna na $(a,b)$ ako i samo ako je $f''(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a konkavna ako i samo ako je $f''(x)\leq0 .$ Ako $f''(x)$ menja znak pri prolazu kroz $x_0 ,$ tada je $(x_0,f(x_0))$ prevojna tačka.

Funkcija je konveksna ($\cup$) na $(0,+\infty) ,$ a konkavna ($\cap$) na $(-\infty,0) .$ Drugi izvod menja znak u $x=0 ,$ pa je prevojna tačka $\left(0,\ 0\right) .$

Rezime: funkcija raste na $(-\infty,- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ i na $(\frac{2 \sqrt{3}}{3},+\infty) ,$ a opada na $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3},\frac{2 \sqrt{3}}{3})$; lokalni maksimum $\left(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}\approx-1{,}155,\ \frac{4 \sqrt{3}}{9}\approx0{,}77\right)$; lokalni minimum $\left(\frac{2 \sqrt{3}}{3}\approx1{,}155,\ - \frac{4 \sqrt{3}}{9}\approx-0{,}77\right)$; funkcija je konveksna ($\cup$) na $(0,+\infty) ,$ a konkavna ($\cap$) na $(-\infty,0)$; prevojne tačke u $x=0 .$ Na osnovu svega ovoga crtamo grafik.