243.v

Tok funkcije ispitujemo po redu: domen, nule i znak, parnost, asimptote, prvi izvod (monotonost, ekstremumi), drugi izvod (konveksnost, prevoji) i na kraju skica grafika.

Funkcija je polinom, pa je definisana za svako realno $x .$ Oblast definisanosti je $D=\mathbb{R} .$

Grafik seče $x$-osu tamo gde je $f(x)=0 .$ Rešenja u oblasti definisanosti su $x=- \sqrt{3}\approx-1{,}732 ,$ $x=\sqrt{3}\approx1{,}732 ,$ $x=4 .$

Presek sa $y$-osom: $f(0)=12 .$

Znak funkcije na intervalima između nula i tačaka prekida:

Funkcija nije ni parna ni neparna: na primer $f(1)=6 ,$ a $f(-1)=10 .$

Funkcija je definisana i neprekidna na celom $\mathbb{R} ,$ pa nema vertikalnih asimptota.

Iz gradiva: diferencijabilna funkcija $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ je na intervalu $(a,b)$ rastuća ako i samo ako je $f'(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a opadajuća ako i samo ako je $f'(x)\leq0$ za sve $x\in(a,b) .$ Zato monotonost određujemo iz znaka prvog izvoda. Iz gradiva: ako $f'(x)$ menja znak kada $x$ prolazi kroz $x_0 ,$ tada je $x_0$ tačka strogog lokalnog ekstrema: prelaz sa $-$ na $+$ daje minimum, a sa $+$ na $-$ maksimum.

Prvi izvod je jednak nuli ili ne postoji u tačkama $x=- \frac{1}{3} ,$ $x=3 .$ One, zajedno sa tačkama prekida, dele oblast definisanosti na intervale na kojima izvod ima stalan znak.

Funkcija raste na $(-\infty,- \frac{1}{3})$ i na $(3,+\infty) ,$ a opada na $(- \frac{1}{3},3) .$

U tački $x=- \frac{1}{3}$ izvod menja znak sa $+$ na $- ,$ pa je to lokalni maksimum: $f(- \frac{1}{3})=\frac{338}{27} .$ U tački $x=3$ izvod menja znak sa $-$ na $+ ,$ pa je to lokalni minimum: $f(3)=-6 .$

Iz gradiva: funkcija je konveksna na $(a,b)$ ako i samo ako je $f''(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a konkavna ako i samo ako je $f''(x)\leq0 .$ Ako $f''(x)$ menja znak pri prolazu kroz $x_0 ,$ tada je $(x_0,f(x_0))$ prevojna tačka.

Funkcija je konveksna ($\cup$) na $(\frac{4}{3},+\infty) ,$ a konkavna ($\cap$) na $(-\infty,\frac{4}{3}) .$ Drugi izvod menja znak u $x=\frac{4}{3} ,$ pa je prevojna tačka $\left(\frac{4}{3},\ \frac{88}{27}\right) .$

Rezime: funkcija raste na $(-\infty,- \frac{1}{3})$ i na $(3,+\infty) ,$ a opada na $(- \frac{1}{3},3)$; lokalni maksimum $\left(- \frac{1}{3},\ \frac{338}{27}\right)$; lokalni minimum $\left(3,\ -6\right)$; funkcija je konveksna ($\cup$) na $(\frac{4}{3},+\infty) ,$ a konkavna ($\cap$) na $(-\infty,\frac{4}{3})$; prevojne tačke u $x=\frac{4}{3} .$ Na osnovu svega ovoga crtamo grafik.