5803. Ispitivanje toka funkcije

Tok funkcije ispitujemo po redu: domen, nule i znak, parnost, asimptote, prvi izvod (monotonost, ekstremumi), drugi izvod (konveksnost, prevoji) i na kraju skica grafika.

Funkcija je polinom, pa je definisana za svako realno $x .$ Oblast definisanosti je $D=\mathbb{R} .$

Grafik seče $x$ -osu tamo gde je $f(x)=0 .$ Rešenja u oblasti definisanosti su $x\approx-3{,}05 ,$ $x\approx0{,}11 ,$ $x\approx2{,}94 .$

Ova jednačina nema racionalnih rešenja, pa nule određujemo približno. Svaka nula leži između dva cela broja u kojima funkcija ima suprotne znakove: $f(-4)=-27$ i $f(-3)=1$ ; $f(0)=1$ i $f(1)=-7$ ; $f(2)=-9$ i $f(3)=1 .$ Sužavanjem tih intervala dobijamo navedene približne vrednosti.

Presek sa $y$ -osom: $f(0)=1 .$

Znak funkcije na intervalima između nula i tačaka prekida:

x\in(-\infty,-3{,}05408421538605)

x\in(-3{,}05408421538605,0{,}111264157590214)

x\in(0{,}111264157590214,2{,}94282005779584)

x\in(2{,}94282005779584,+\infty)

x^{3} - 9 x + 1

-

+

-

+

f(x)

-

+

-

+

Funkcija nije ni parna ni neparna: na primer $f(1)=-7 ,$ a $f(-1)=9 .$

Funkcija je definisana i neprekidna na celom $\mathbb{R} ,$ pa nema vertikalnih asimptota.

Kada $x\to+\infty$ je $\lim f(x)=+\infty ,$ a $\frac{f(x)}x$ ne teži konačnom broju različitom od nule, pa na toj strani nema ni horizontalne ni kose asimptote.

\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}x=+\infty

Kada $x\to-\infty$ je $\lim f(x)=-\infty ,$ a $\frac{f(x)}x$ ne teži konačnom broju različitom od nule, pa na toj strani nema ni horizontalne ni kose asimptote.

\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}x=+\infty

Iz gradiva: diferencijabilna funkcija $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ je na intervalu $(a,b)$ rastuća ako i samo ako je $f'(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a opadajuća ako i samo ako je $f'(x)\leq0$ za sve $x\in(a,b) .$ Zato monotonost određujemo iz znaka prvog izvoda. Iz gradiva: ako $f'(x)$ menja znak kada $x$ prolazi kroz $x_0 ,$ tada je $x_0$ tačka strogog lokalnog ekstrema: prelaz sa $-$ na $+$ daje minimum, a sa $+$ na $-$ maksimum.

Računamo prvi izvod i sređujemo ga do oblika proizvoda, iz kog se lako čita znak:

f'(x)=3 x^{2} - 9=3 \left(x^{2} - 3\right)

Prvi izvod je jednak nuli ili ne postoji u tačkama $x=- \sqrt{3}\approx-1{,}732 ,$ $x=\sqrt{3}\approx1{,}732 .$ One, zajedno sa tačkama prekida, dele oblast definisanosti na intervale na kojima izvod ima stalan znak.

x\in(-\infty,- \sqrt{3})

x\in(- \sqrt{3},\sqrt{3})

x\in(\sqrt{3},+\infty)

x^{2} - 3

+

-

+

f'(x)

+

-

+

f(x)

\nearrow

\searrow

\nearrow

Funkcija raste na $(-\infty,- \sqrt{3})$ i na $(\sqrt{3},+\infty) ,$ a opada na $(- \sqrt{3},\sqrt{3}) .$

U tački $x=- \sqrt{3}\approx-1{,}732$ izvod menja znak sa $+$ na $- ,$ pa je to lokalni maksimum: $f(- \sqrt{3})=1 + 6 \sqrt{3}\approx11{,}392 .$ U tački $x=\sqrt{3}\approx1{,}732$ izvod menja znak sa $-$ na $+ ,$ pa je to lokalni minimum: $f(\sqrt{3})=1 - 6 \sqrt{3}\approx-9{,}392 .$

Iz gradiva: funkcija je konveksna na $(a,b)$ ako i samo ako je $f''(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a konkavna ako i samo ako je $f''(x)\leq0 .$ Ako $f''(x)$ menja znak pri prolazu kroz $x_0 ,$ tada je $(x_0,f(x_0))$ prevojna tačka.

Diferenciranjem prvog izvoda dobijamo drugi izvod:

f''(x)=6 x

x\in(-\infty,0)

x\in(0,+\infty)

x

-

+

f''(x)

-

+

f(x)

\cap

\cup

Funkcija je konveksna ( $\cup$ ) na $(0,+\infty) ,$ a konkavna ( $\cap$ ) na $(-\infty,0) .$ Drugi izvod menja znak u $x=0 ,$ pa je prevojna tačka $\left(0,\ 1\right) .$

Rezime: funkcija raste na $(-\infty,- \sqrt{3})$ i na $(\sqrt{3},+\infty) ,$ a opada na $(- \sqrt{3},\sqrt{3})$ ; lokalni maksimum $\left(- \sqrt{3}\approx-1{,}732,\ 1 + 6 \sqrt{3}\approx11{,}392\right)$ ; lokalni minimum $\left(\sqrt{3}\approx1{,}732,\ 1 - 6 \sqrt{3}\approx-9{,}392\right)$ ; funkcija je konveksna ( $\cup$ ) na $(0,+\infty) ,$ a konkavna ( $\cap$ ) na $(-\infty,0)$ ; prevojne tačke u $x=0 .$ Na osnovu svega ovoga crtamo grafik.

Započni učenje

Online časovi

243.g

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci