243.a

Ispitujemo redom: oblast definisanosti, nule i znak, parnost, asimptote, monotonost i ekstremume (prvi izvod), konveksnost i prevojne tačke (drugi izvod), pa crtamo grafik.

Funkcija je polinom, pa je definisana za svako realno $x .$ Oblast definisanosti je $D=\mathbb{R} .$

Nule nalazimo iz jednačine $f(x)=0 .$ Rešenja u oblasti definisanosti su $x=- 2 \sqrt{3}\approx-3{,}464 ,$ $x=0 ,$ $x=2 \sqrt{3}\approx3{,}464 .$

Presek sa $y$-osom: $f(0)=0 .$

Znak funkcije određujemo iz znakova činilaca:

Funkcija je definisana i neprekidna na celom $\mathbb{R} ,$ pa nema vertikalnih asimptota.

Iz gradiva: diferencijabilna funkcija $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ je na intervalu $(a,b)$ rastuća ako i samo ako je $f'(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a opadajuća ako i samo ako je $f'(x)\leq0$ za sve $x\in(a,b) .$ Zato monotonost određujemo iz znaka prvog izvoda. Iz gradiva: ako $f'(x)$ menja znak kada $x$ prolazi kroz $x_0 ,$ tada je $x_0$ tačka strogog lokalnog ekstrema: prelaz sa $-$ na $+$ daje minimum, a sa $+$ na $-$ maksimum.

Prvi izvod je jednak nuli ili ne postoji u tačkama $x=-2 ,$ $x=2 .$ One, zajedno sa tačkama prekida, dele oblast definisanosti na intervale na kojima izvod ima stalan znak.

Funkcija raste na $(-\infty,-2)$ i na $(2,+\infty) ,$ a opada na $(-2,2) .$

U tački $x=-2$ izvod menja znak sa $+$ na $- ,$ pa je to lokalni maksimum: $f(-2)=\frac{16}{3} .$ U tački $x=2$ izvod menja znak sa $-$ na $+ ,$ pa je to lokalni minimum: $f(2)=- \frac{16}{3} .$

Iz gradiva: funkcija je konveksna na $(a,b)$ ako i samo ako je $f''(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a konkavna ako i samo ako je $f''(x)\leq0 .$ Ako $f''(x)$ menja znak pri prolazu kroz $x_0 ,$ tada je $(x_0,f(x_0))$ prevojna tačka.

Funkcija je konveksna ($\cup$) na $(0,+\infty) ,$ a konkavna ($\cap$) na $(-\infty,0) .$ Drugi izvod menja znak u $x=0 ,$ pa je prevojna tačka $\left(0,\ 0\right) .$

Rezime: funkcija raste na $(-\infty,-2)$ i na $(2,+\infty) ,$ a opada na $(-2,2)$; lokalni maksimum $\left(-2,\ \frac{16}{3}\right)$; lokalni minimum $\left(2,\ - \frac{16}{3}\right)$; funkcija je konveksna ($\cup$) na $(0,+\infty) ,$ a konkavna ($\cap$) na $(-\infty,0)$; prevojne tačke u $x=0 .$ Na osnovu svega ovoga crtamo grafik.