243.i

Ispitujemo redom: oblast definisanosti, nule i znak, parnost, asimptote, monotonost i ekstremume (prvi izvod), konveksnost i prevojne tačke (drugi izvod), pa crtamo grafik.

Funkcija je polinom, pa je definisana za svako realno $x .$ Oblast definisanosti je $D=\mathbb{R} .$

Nule nalazimo iz jednačine $f(x)=0 .$ Rešenja u oblasti definisanosti su $x=1 ,$ $x=2 .$

Presek sa $y$-osom: $f(0)=-8 .$

Znak funkcije određujemo iz znakova činilaca:

Funkcija nije ni parna ni neparna: na primer $f(1)=0 ,$ a $f(-1)=-108 .$

Funkcija je definisana i neprekidna na celom $\mathbb{R} ,$ pa nema vertikalnih asimptota.

Iz gradiva: diferencijabilna funkcija $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ je na intervalu $(a,b)$ rastuća ako i samo ako je $f'(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a opadajuća ako i samo ako je $f'(x)\leq0$ za sve $x\in(a,b) .$ Zato monotonost određujemo iz znaka prvog izvoda. Iz gradiva: ako $f'(x)$ menja znak kada $x$ prolazi kroz $x_0 ,$ tada je $x_0$ tačka strogog lokalnog ekstrema: prelaz sa $-$ na $+$ daje minimum, a sa $+$ na $-$ maksimum.

Prvi izvod je jednak nuli ili ne postoji u tačkama $x=1 ,$ $x=\frac{7}{5} ,$ $x=2 .$ One, zajedno sa tačkama prekida, dele oblast definisanosti na intervale na kojima izvod ima stalan znak.

Funkcija raste na $(-\infty,1)$ i na $(\frac{7}{5},+\infty) ,$ a opada na $(1,\frac{7}{5}) .$

U tački $x=1$ izvod menja znak sa $+$ na $- ,$ pa je to lokalni maksimum: $f(1)=0 .$ U tački $x=\frac{7}{5}$ izvod menja znak sa $-$ na $+ ,$ pa je to lokalni minimum: $f(\frac{7}{5})=- \frac{108}{3125} .$ U $x=2$ izvod je nula ili ne postoji, ali ne menja znak, pa tu nema ekstremuma.

Iz gradiva: funkcija je konveksna na $(a,b)$ ako i samo ako je $f''(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a konkavna ako i samo ako je $f''(x)\leq0 .$ Ako $f''(x)$ menja znak pri prolazu kroz $x_0 ,$ tada je $(x_0,f(x_0))$ prevojna tačka.

Funkcija je konveksna ($\cup$) na $(\frac{7}{5} - \frac{\sqrt{6}}{10},\frac{\sqrt{6}}{10} + \frac{7}{5})$ i na $(2,+\infty) ,$ a konkavna ($\cap$) na $(-\infty,\frac{7}{5} - \frac{\sqrt{6}}{10})$ i na $(\frac{\sqrt{6}}{10} + \frac{7}{5},2) .$ Drugi izvod menja znak u $x=\frac{7}{5} - \frac{\sqrt{6}}{10}\approx1{,}155 ,$ $x=\frac{\sqrt{6}}{10} + \frac{7}{5}\approx1{,}645 ,$ $x=2 ,$ pa su prevojne tačke $\left(\frac{7}{5} - \frac{\sqrt{6}}{10}\approx1{,}155,\ - \frac{207}{12500} + \frac{21 \sqrt{6}}{25000}\approx-0{,}015\right) ,$ $\left(\frac{\sqrt{6}}{10} + \frac{7}{5}\approx1{,}645,\ - \frac{207}{12500} - \frac{21 \sqrt{6}}{25000}\approx-0{,}019\right) ,$ $\left(2,\ 0\right) .$

Rezime: funkcija raste na $(-\infty,1)$ i na $(\frac{7}{5},+\infty) ,$ a opada na $(1,\frac{7}{5})$; lokalni maksimum $\left(1,\ 0\right)$; lokalni minimum $\left(\frac{7}{5},\ - \frac{108}{3125}\right)$; funkcija je konveksna ($\cup$) na $(\frac{7}{5} - \frac{\sqrt{6}}{10},\frac{\sqrt{6}}{10} + \frac{7}{5})$ i na $(2,+\infty) ,$ a konkavna ($\cap$) na $(-\infty,\frac{7}{5} - \frac{\sqrt{6}}{10})$ i na $(\frac{\sqrt{6}}{10} + \frac{7}{5},2)$; prevojne tačke u $x=\frac{7}{5} - \frac{\sqrt{6}}{10}\approx1{,}155 ,$ $x=\frac{\sqrt{6}}{10} + \frac{7}{5}\approx1{,}645 ,$ $x=2 .$ Na osnovu svega ovoga crtamo grafik.