259.a

Tok funkcije ispitujemo po redu: domen, nule i znak, parnost, asimptote, prvi izvod (monotonost, ekstremumi), drugi izvod (konveksnost, prevoji) i na kraju skica grafika.

Izraz nema razlomaka sa promenljivom u imeniocu ni korena parnog reda, pa je definisan svuda. Oblast definisanosti je $D=\mathbb{R} .$

Grafik seče $x$-osu tamo gde je $f(x)=0 .$ Rešenja u oblasti definisanosti su $x=1 ,$ $x=3 .$

Presek sa $y$-osom: $f(0)=3 .$

Znak funkcije na intervalima između nula i tačaka prekida:

Funkcija nije ni parna ni neparna: na primer $f(1)=0 ,$ a $f(-1)=\frac{8}{e}\approx2{,}943 .$

Funkcija je definisana i neprekidna na celom $\mathbb{R} ,$ pa nema vertikalnih asimptota.

Iz gradiva: diferencijabilna funkcija $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ je na intervalu $(a,b)$ rastuća ako i samo ako je $f'(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a opadajuća ako i samo ako je $f'(x)\leq0$ za sve $x\in(a,b) .$ Zato monotonost određujemo iz znaka prvog izvoda. Iz gradiva: ako $f'(x)$ menja znak kada $x$ prolazi kroz $x_0 ,$ tada je $x_0$ tačka strogog lokalnog ekstrema: prelaz sa $-$ na $+$ daje minimum, a sa $+$ na $-$ maksimum.

Prvi izvod je jednak nuli ili ne postoji u tačkama $x=1 - \sqrt{2}\approx-0{,}414 ,$ $x=1 + \sqrt{2}\approx2{,}414 .$ One, zajedno sa tačkama prekida, dele oblast definisanosti na intervale na kojima izvod ima stalan znak.

Funkcija raste na $(-\infty,1 - \sqrt{2})$ i na $(1 + \sqrt{2},+\infty) ,$ a opada na $(1 - \sqrt{2},1 + \sqrt{2}) .$

U tački $x=1 - \sqrt{2}\approx-0{,}414$ izvod menja znak sa $+$ na $- ,$ pa je to lokalni maksimum: $f(1 - \sqrt{2})=\frac{2 \left(1 + \sqrt{2}\right)}{e^{-1 + \sqrt{2}}}\approx3{,}191 .$ U tački $x=1 + \sqrt{2}\approx2{,}414$ izvod menja znak sa $-$ na $+ ,$ pa je to lokalni minimum: $f(1 + \sqrt{2})=2 \left(1 - \sqrt{2}\right) e^{1 + \sqrt{2}}\approx-9{,}263 .$

Iz gradiva: funkcija je konveksna na $(a,b)$ ako i samo ako je $f''(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a konkavna ako i samo ako je $f''(x)\leq0 .$ Ako $f''(x)$ menja znak pri prolazu kroz $x_0 ,$ tada je $(x_0,f(x_0))$ prevojna tačka.

Funkcija je konveksna ($\cup$) na $(-\infty,- \sqrt{3})$ i na $(\sqrt{3},+\infty) ,$ a konkavna ($\cap$) na $(- \sqrt{3},\sqrt{3}) .$ Drugi izvod menja znak u $x=- \sqrt{3}\approx-1{,}732 ,$ $x=\sqrt{3}\approx1{,}732 ,$ pa su prevojne tačke $\left(- \sqrt{3}\approx-1{,}732,\ \frac{2 \left(3 + 2 \sqrt{3}\right)}{e^{\sqrt{3}}}\approx2{,}287\right) ,$ $\left(\sqrt{3}\approx1{,}732,\ \left(6 - 4 \sqrt{3}\right) e^{\sqrt{3}}\approx-5{,}246\right) .$

Rezime: funkcija raste na $(-\infty,1 - \sqrt{2})$ i na $(1 + \sqrt{2},+\infty) ,$ a opada na $(1 - \sqrt{2},1 + \sqrt{2})$; lokalni maksimum $\left(1 - \sqrt{2}\approx-0{,}414,\ \frac{2 \left(1 + \sqrt{2}\right)}{e^{-1 + \sqrt{2}}}\approx3{,}191\right)$; lokalni minimum $\left(1 + \sqrt{2}\approx2{,}414,\ 2 \left(1 - \sqrt{2}\right) e^{1 + \sqrt{2}}\approx-9{,}263\right)$; asimptote: $y=0$; funkcija je konveksna ($\cup$) na $(-\infty,- \sqrt{3})$ i na $(\sqrt{3},+\infty) ,$ a konkavna ($\cap$) na $(- \sqrt{3},\sqrt{3})$; prevojne tačke u $x=- \sqrt{3}\approx-1{,}732 ,$ $x=\sqrt{3}\approx1{,}732 .$ Na osnovu svega ovoga crtamo grafik.