5860. Ispitivanje toka funkcije

Zadatak svodimo na nalaženje ekstremuma funkcije jedne promenljive: veličinu koju optimizujemo izražavamo preko jedne promenljive, nalazimo nule izvoda i proveravamo promenu znaka izvoda (iz gradiva: promena znaka sa $+$ na $-$ daje maksimum, a sa $-$ na $+$ minimum).

Neka je posmatrač na rastojanju $x$ od zida. Donji kraj slike vidi pod uglom $\beta ,$ a gornji pod uglom $\alpha+\beta$ iznad horizontale, pri čemu je $\alpha$ ugao pod kojim vidi sliku:

\operatorname{tg}\beta=\frac{1{,}8}x, \qquad \operatorname{tg}(\alpha+\beta)=\frac{1{,}8+1{,}4}x=\frac{3{,}2}x

Po formuli za tangens razlike:

\operatorname{tg}\alpha=\frac{\frac{3{,}2}x-\frac{1{,}8}x}{1+\frac{3{,}2\cdot1{,}8}{x^2}}=\frac{1{,}4x}{x^2+5{,}76}

Ugao $\alpha\in\left(0,\frac\pi2\right)$ je najveći kada mu je tangens najveći. Izvod funkcije $f(x)=\frac{1{,}4x}{x^2+5{,}76} :$

f'(x)=\frac{1{,}4(x^2+5{,}76)-1{,}4x\cdot2x}{(x^2+5{,}76)^2}=\frac{1{,}4(5{,}76-x^2)}{(x^2+5{,}76)^2}

Izvod je nula za $x=2{,}4 ,$ pozitivan pre i negativan posle (maksimum). Tada je $\operatorname{tg}\alpha=\frac{3{,}36}{11{,}52}=\frac7{24} ,$ $\alpha\approx16{,}3^\circ .$

Posmatrač treba da stoji na $2{,}4\,\text{m}$ od zida.

Započni učenje

Online časovi

258

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci