5852. Ispitivanje toka funkcije

Zadatak svodimo na nalaženje ekstremuma funkcije jedne promenljive: veličinu koju optimizujemo izražavamo preko jedne promenljive, nalazimo nule izvoda i proveravamo promenu znaka izvoda (iz gradiva: promena znaka sa $+$ na $-$ daje maksimum, a sa $-$ na $+$ minimum).

Da bi prava kroz $M(x_0,y_0)$ sekla obe pozitivne poluose, mora da „pada”. Neka je $\varphi\in\left(0,\frac\pi2\right)$ oštar ugao između prave i $x$ -ose. Odsečak između osa tačka $M$ deli na dva dela: do $x$ -ose je to hipotenuza trougla sa naspramnom katetom $y_0 ,$ a do $y$ -ose hipotenuza sa nalegom katetom $x_0 :$

L(\varphi)=\frac{y_0}{\sin\varphi}+\frac{x_0}{\cos\varphi}

Izvod:

L'(\varphi)=-\frac{y_0\cos\varphi}{\sin^2\varphi}+\frac{x_0\sin\varphi}{\cos^2\varphi}=\frac{x_0\sin^3\varphi-y_0\cos^3\varphi}{\sin^2\varphi\cos^2\varphi}

Izvod je nula kada je $\operatorname{tg}^3\varphi=\frac{y_0}{x_0} .$ Brojilac je negativan za manje, a pozitivan za veće $\varphi ,$ pa je to minimum:

\operatorname{tg}\varphi=\sqrt[3]{\frac{y_0}{x_0}}

Prava „pada”, pa je njen koeficijent pravca $k=-\operatorname{tg}\varphi ,$ a ugao koji zaklapa sa pozitivnim smerom $x$ -ose je $\pi-\varphi .$ Provera za $M(1,1) :$ $\varphi=45^\circ$ i $L=2\sqrt2 ,$ dok je za $\varphi=30^\circ$ $L=2+\frac2{\sqrt3}\approx3{,}15>2{,}83 .$

Prava treba da ima koeficijent pravca $k=-\sqrt[3]{\frac{y_0}{x_0}} ,$ tj. da sa $x$ -osom zaklapa oštar ugao $\varphi=\operatorname{arctg}\sqrt[3]{\frac{y_0}{x_0}}$ (mereno sa pozitivnim smerom: $\pi-\varphi$ ).

Započni učenje

Online časovi

250

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci