5856. Ispitivanje toka funkcije

Zadatak svodimo na nalaženje ekstremuma funkcije jedne promenljive: veličinu koju optimizujemo izražavamo preko jedne promenljive, nalazimo nule izvoda i proveravamo promenu znaka izvoda (iz gradiva: promena znaka sa $+$ na $-$ daje maksimum, a sa $-$ na $+$ minimum).

Postavimo pravougaonik simetrično oko koordinatnog početka; teme $\left(\frac m2,\frac n2\right)$ je na elipsi $\frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{B^2}=1 .$ Označimo $p=\frac m2 ,$ $q=\frac n2 :$

\frac{p^2}{A^2}+\frac{q^2}{B^2}=1 \implies B^2=\frac{q^2A^2}{A^2-p^2}, \qquad A>p

Površina $AB\pi$ je najmanja kada je najmanji $A^2B^2 .$ Sa $u=A^2>p^2 :$

g(u)=A^2B^2=\frac{q^2u^2}{u-p^2}, \qquad g'(u)=q^2\cdot\frac{2u(u-p^2)-u^2}{(u-p^2)^2}=\frac{q^2u(u-2p^2)}{(u-p^2)^2}

Izvod je nula za $u=2p^2 ,$ gde menja znak sa $-$ na $+$ (minimum). Tada je $A=p\sqrt2 ,$ $B^2=\frac{q^2\cdot2p^2}{p^2}=2q^2 ,$ $B=q\sqrt2 :$

P=AB\pi=2pq\pi=2\cdot\frac m2\cdot\frac n2\cdot\pi=\frac{mn\pi}2

Najmanja površina opisane elipse je $\frac{mn\pi}2$ (poluose su $\frac{m\sqrt2}2$ i $\frac{n\sqrt2}2$ ).

Započni učenje

Online časovi

254

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci