5857. Ispitivanje toka funkcije

Zadatak svodimo na nalaženje ekstremuma funkcije jedne promenljive: veličinu koju optimizujemo izražavamo preko jedne promenljive, nalazimo nule izvoda i proveravamo promenu znaka izvoda (iz gradiva: promena znaka sa $+$ na $-$ daje maksimum, a sa $-$ na $+$ minimum).

Zbog simetrije elipse dovoljno je posmatrati tačku $(x_0,y_0)$ u prvom kvadrantu. Kao u zadatku o tangenti kružnice (diferenciranjem jednačine elipse po $x ,$ uz $y=y(x)$ ), tangenta u $(x_0,y_0)$ je:

\frac{xx_0}8+\frac{yy_0}{18}=1

Odsečci tangente na osama su $\frac8{x_0}$ i $\frac{18}{y_0} ,$ pa je površina trougla $T=\frac12\cdot\frac8{x_0}\cdot\frac{18}{y_0}=\frac{72}{x_0y_0} .$ Ona je najmanja kada je $x_0y_0$ najveće, tj. kada je najveće $x_0^2y_0^2 .$ Iz jednačine elipse $y_0^2=18\left(1-\frac{x_0^2}8\right) :$

g(x_0)=x_0^2y_0^2=18x_0^2-\frac94x_0^4, \qquad g'(x_0)=36x_0-9x_0^3=9x_0(4-x_0^2)

Za $0<x_0<2\sqrt2$ izvod je nula u $x_0=2$ i menja znak sa $+$ na $-$ (maksimum). Tada je $y_0^2=18\cdot\frac12=9 ,$ $y_0=3 ,$ a površina $T=\frac{72}6=12 .$

Tangentu treba konstruisati u tački $(2,3)$ (ili simetričnim tačkama $(\pm2,\pm3)$ ); najmanja površina trougla je $12 .$

Započni učenje

Online časovi

255

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci