5784. Ispitivanje toka funkcije

Zadatak svodimo na nalaženje ekstremuma funkcije jedne promenljive: veličinu koju optimizujemo izražavamo preko jedne promenljive, nalazimo nule izvoda i proveravamo promenu znaka izvoda (iz gradiva: promena znaka sa $+$ na $-$ daje maksimum, a sa $-$ na $+$ minimum).

Neka je osnovica $2x ,$ $0<x<a .$ Visina na osnovicu deli trougao na dva pravougla trougla, pa je po Pitagorinoj teoremi $h=\sqrt{a^2-x^2} .$ Površina:

P(x)=\frac{2x\cdot h}2=x\sqrt{a^2-x^2}

Izvod po pravilu za proizvod i za složenu funkciju:

P'(x)=\sqrt{a^2-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}=\frac{a^2-2x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}

Izvod je nula za $x=\frac a{\sqrt2}$ ; pozitivan je pre, a negativan posle te tačke, pa je to maksimum. Tada je osnovica $2x=a\sqrt2 ,$ visina $h=\frac a{\sqrt2} ,$ a površina $P=\frac{a^2}2 .$

Pošto je $a^2+a^2=\left(a\sqrt2\right)^2 ,$ po obrnutoj Pitagorinoj teoremi ugao između krakova je prav.

Najveću površinu, $\frac{a^2}2 ,$ ima jednakokraki pravougli trougao (osnovica $a\sqrt2$ ).

Započni učenje

Online časovi

238

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci