5785. Ispitivanje toka funkcije

Zadatak svodimo na nalaženje ekstremuma funkcije jedne promenljive: veličinu koju optimizujemo izražavamo preko jedne promenljive, nalazimo nule izvoda i proveravamo promenu znaka izvoda (iz gradiva: promena znaka sa $+$ na $-$ daje maksimum, a sa $-$ na $+$ minimum).

Poluprečnik upisane kružnice je $r=\frac Ps ,$ gde je $s$ poluobim. Ovde je $s=\frac{36+60}2=48$ stalno, pa je $r$ najveće kada je površina $P$ najveća.

Neka su druge dve stranice $a$ i $b=60-a .$ Po Heronovoj formuli:

P=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-36)}=\sqrt{48\cdot12\,(48-a)(a-12)}

Nejednakost trougla traži $|a-b|<36 ,$ tj. $12<a<48 .$ Koren je najveći kada je potkoreni izraz najveći, pa posmatramo $g(a)=(48-a)(a-12) :$

g'(a)=-(a-12)+(48-a)=60-2a=0 \implies a=30

Pošto je $g''(a)=-2<0 ,$ u $a=30$ je maksimum. Tada je $b=30 ,$ $P=\sqrt{48\cdot12\cdot18\cdot18}=432$ i $r=\frac{432}{48}=9\,\text{cm} .$

Obe stranice treba da budu po $30\,\text{cm}$ ; poluprečnik upisane kružnice je tada najveći, $r=9\,\text{cm} .$

Započni učenje

Online časovi

239

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci