5854. Ispitivanje toka funkcije

Zadatak svodimo na nalaženje ekstremuma funkcije jedne promenljive: veličinu koju optimizujemo izražavamo preko jedne promenljive, nalazimo nule izvoda i proveravamo promenu znaka izvoda (iz gradiva: promena znaka sa $+$ na $-$ daje maksimum, a sa $-$ na $+$ minimum).

Pravougaonik upisan u polukrug ima jednu stranicu na prečniku, simetrično u odnosu na centar. Neka je ta stranica $2u ,$ $0<u<R$ ; gornja temena su na kružnici, pa je visina $h=\sqrt{R^2-u^2} .$ Obim:

O(u)=4u+2\sqrt{R^2-u^2}

Izvod:

O'(u)=4-\frac{2u}{\sqrt{R^2-u^2}}

Izvod je nula kada je $2\sqrt{R^2-u^2}=u ,$ tj. $4R^2-4u^2=u^2 ,$ $u=\frac{2R}{\sqrt5} .$ Pre te tačke je izvod pozitivan, posle negativan, pa je to maksimum.

2u=\frac{4R}{\sqrt5}=\frac{4R\sqrt5}5, \qquad h=\sqrt{R^2-\frac{4R^2}5}=\frac R{\sqrt5}=\frac{R\sqrt5}5

Najveći obim je $O=\frac{8R}{\sqrt5}+\frac{2R}{\sqrt5}=2R\sqrt5 .$

Stranice su $\frac{4R\sqrt5}5$ (na prečniku) i $\frac{R\sqrt5}5 ,$ a najveći obim je $2R\sqrt5 .$

Započni učenje

Online časovi

252

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci