257

Zadatak svodimo na nalaženje ekstremuma funkcije jedne promenljive: veličinu koju optimizujemo izražavamo preko jedne promenljive, nalazimo nule izvoda i proveravamo promenu znaka izvoda (iz gradiva: promena znaka sa $+$ na $-$ daje maksimum, a sa $-$ na $+$ minimum).

Tačke $A(1,4)$ i $B(3,0)$ su na elipsi ($2+16=18 ,$ $18+0=18$). Dužina $AB$ je stalna, pa je površina najveća kada je najveće rastojanje tačke $C$ od prave $AB .$ Prava $AB$ ima koeficijent $\frac{0-4}{3-1}=-2 :$ $2x+y-6=0 ,$ a rastojanje je $d=\frac{|2x+y-6|}{\sqrt5} .$

Iz $h'(x)=0$ je $\sqrt{18-2x^2}=-x$ (pa je $x<0$), tj. $18-2x^2=x^2 ,$ $x=-\sqrt6 ,$ $y=-\sqrt{18-12}=-\sqrt6 .$ Upoređujemo: $h(-\sqrt6)=6+3\sqrt6\approx13{,}35 ,$ a na krajevima $h(-3)=12 ,$ $h(3)=0 .$ Sa druge strane prave najveća vrednost $2x+y-6$ je $3\sqrt6-6\approx1{,}35 ,$ što je manje.

Površina: $|AB|=\sqrt{4+16}=2\sqrt5 ,$ pa je $P=\frac12\cdot2\sqrt5\cdot\frac{6+3\sqrt6}{\sqrt5}=6+3\sqrt6 .$

Tražena tačka je $C\left(-\sqrt6,-\sqrt6\right)$; najveća površina trougla je $6+3\sqrt6 .$