5858. Ispitivanje toka funkcije

Zadatak svodimo na nalaženje ekstremuma funkcije jedne promenljive: veličinu koju optimizujemo izražavamo preko jedne promenljive, nalazimo nule izvoda i proveravamo promenu znaka izvoda (iz gradiva: promena znaka sa $+$ na $-$ daje maksimum, a sa $-$ na $+$ minimum).

Dijagonala, krak i duža osnovica obrazuju pravougli trougao sa pravim uglom između dijagonale i kraka i hipotenuzom $l .$ Zato je krak $c=l\cos\alpha ,$ a visina trapeza $h=c\sin\alpha=l\sin\alpha\cos\alpha .$

Kraća osnovica je $l-2c\cos\alpha=l-2l\cos^2\alpha$ ; ona je pozitivna za $\alpha\in\left(\frac\pi4,\frac\pi2\right) .$ Površina:

P(\alpha)=\frac{l+(l-2l\cos^2\alpha)}2\cdot h=l(1-\cos^2\alpha)\cdot l\sin\alpha\cos\alpha=l^2\sin^3\alpha\cos\alpha

Izvod:

P'(\alpha)=l^2\left(3\sin^2\alpha\cos^2\alpha-\sin^4\alpha\right)=l^2\sin^2\alpha\left(3\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\right)

Izvod je nula kada je $\operatorname{tg}^2\alpha=3 ,$ tj. $\alpha=\frac\pi3$ ; pre toga je pozitivan, posle negativan (maksimum). Površina:

P_{\max}=l^2\left(\frac{\sqrt3}2\right)^3\cdot\frac12=\frac{3\sqrt3}{16}l^2

Površina je najveća za $\alpha=\frac\pi3=60^\circ$ i iznosi $\frac{3\sqrt3}{16}l^2 .$

Započni učenje

Online časovi

256

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci