260.b

Ispitujemo redom: oblast definisanosti, nule i znak, parnost, asimptote, monotonost i ekstremume (prvi izvod), konveksnost i prevojne tačke (drugi izvod), pa crtamo grafik.

Logaritam je definisan samo za pozitivne brojeve: $x>0 .$ Oblast definisanosti je $D=(0,+\infty) .$

Nule nalazimo iz jednačine $f(x)=0 .$ Rešenja u oblasti definisanosti su $x=1 .$

Znak funkcije određujemo iz znakova činilaca:

Oblast definisanosti nije simetrična u odnosu na $x=0 ,$ pa funkcija nije ni parna ni neparna.

Iz gradiva: diferencijabilna funkcija $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ je na intervalu $(a,b)$ rastuća ako i samo ako je $f'(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a opadajuća ako i samo ako je $f'(x)\leq0$ za sve $x\in(a,b) .$ Zato monotonost određujemo iz znaka prvog izvoda. Iz gradiva: ako $f'(x)$ menja znak kada $x$ prolazi kroz $x_0 ,$ tada je $x_0$ tačka strogog lokalnog ekstrema: prelaz sa $-$ na $+$ daje minimum, a sa $+$ na $-$ maksimum.

Prvi izvod je jednak nuli ili ne postoji u tačkama $x=e^{-2}\approx0{,}135 .$ One, zajedno sa tačkama prekida, dele oblast definisanosti na intervale na kojima izvod ima stalan znak.

Funkcija raste na $(e^{-2},+\infty) ,$ a opada na $(0,e^{-2}) .$

U tački $x=e^{-2}\approx0{,}135$ izvod menja znak sa $-$ na $+ ,$ pa je to lokalni minimum: $f(e^{-2})=- \frac{2}{e}\approx-0{,}736 .$

Iz gradiva: funkcija je konveksna na $(a,b)$ ako i samo ako je $f''(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a konkavna ako i samo ako je $f''(x)\leq0 .$ Ako $f''(x)$ menja znak pri prolazu kroz $x_0 ,$ tada je $(x_0,f(x_0))$ prevojna tačka.

Funkcija je konveksna ($\cup$) na $(0,1) ,$ a konkavna ($\cap$) na $(1,+\infty) .$ Drugi izvod menja znak u $x=1 ,$ pa je prevojna tačka $\left(1,\ 0\right) .$

Rezime: funkcija raste na $(e^{-2},+\infty) ,$ a opada na $(0,e^{-2})$; lokalni minimum $\left(e^{-2}\approx0{,}135,\ - \frac{2}{e}\approx-0{,}736\right)$; funkcija je konveksna ($\cup$) na $(0,1) ,$ a konkavna ($\cap$) na $(1,+\infty)$; prevojne tačke u $x=1 .$ Na osnovu svega ovoga crtamo grafik.