5868. Ispitivanje toka funkcije

Tok funkcije ispitujemo po redu: domen, nule i znak, parnost, asimptote, prvi izvod (monotonost, ekstremumi), drugi izvod (konveksnost, prevoji) i na kraju skica grafika.

Izložilac $-\frac1x$ traži $x\neq0 .$ Oblast definisanosti je $D=\mathbb{R}\setminus\{0\} .$

Grafik seče $x$ -osu tamo gde je $f(x)=0 .$ Ta jednačina nema rešenja u oblasti definisanosti, pa grafik ne seče $x$ -osu.

Znak funkcije na intervalima između nula i tačaka prekida:

x\in(-\infty,0)

x\in(0,+\infty)

x

-

+

e^{- \frac{1}{x}}

+

+

f(x)

-

+

Funkcija nije ni parna ni neparna: na primer $f(1)=e^{-1}\approx0{,}368 ,$ a $f(-1)=- e\approx-2{,}718 .$

Vertikalne asimptote tražimo na krajevima oblasti definisanosti koji nisu u njoj (tačke u kojima funkcija nije definisana). Granična vrednost je beskonačna, pa je $x=0$ (samo sa leve strane) vertikalna asimptota.

\lim_{x\to0^{-}}f(x)=-\infty, \qquad \lim_{x\to0^{+}}f(x)=0

Kada $x\to\pm\infty ,$ $f(x)$ teži beskonačnosti, pa horizontalne asimptote nema. Kosu asimptotu $y=kx+n$ tražimo iz $k=\lim\frac{f(x)}x$ i $n=\lim(f(x)-kx)$ ; na obe strane dobijamo iste vrednosti:

k=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}x=1, \qquad n=\lim_{x\to\pm\infty}\left(f(x)-x\right)=-1 \implies y=x - 1

Iz gradiva: diferencijabilna funkcija $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ je na intervalu $(a,b)$ rastuća ako i samo ako je $f'(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a opadajuća ako i samo ako je $f'(x)\leq0$ za sve $x\in(a,b) .$ Zato monotonost određujemo iz znaka prvog izvoda. Iz gradiva: ako $f'(x)$ menja znak kada $x$ prolazi kroz $x_0 ,$ tada je $x_0$ tačka strogog lokalnog ekstrema: prelaz sa $-$ na $+$ daje minimum, a sa $+$ na $-$ maksimum.

Računamo prvi izvod i sređujemo ga do oblika proizvoda, iz kog se lako čita znak:

f'(x)=e^{- \frac{1}{x}} + \frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x}=\frac{\left(x + 1\right) e^{- \frac{1}{x}}}{x}

Prvi izvod je jednak nuli ili ne postoji u tačkama $x=-1 .$ One, zajedno sa tačkama prekida, dele oblast definisanosti na intervale na kojima izvod ima stalan znak.

x\in(-\infty,-1)

x\in(-1,0)

x\in(0,+\infty)

x

-

-

+

x + 1

-

+

+

e^{- \frac{1}{x}}

+

+

+

f'(x)

+

-

+

f(x)

\nearrow

\searrow

\nearrow

Funkcija raste na $(-\infty,-1)$ i na $(0,+\infty) ,$ a opada na $(-1,0) .$

U tački $x=-1$ izvod menja znak sa $+$ na $- ,$ pa je to lokalni maksimum: $f(-1)=- e\approx-2{,}718 .$

Iz gradiva: funkcija je konveksna na $(a,b)$ ako i samo ako je $f''(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a konkavna ako i samo ako je $f''(x)\leq0 .$ Ako $f''(x)$ menja znak pri prolazu kroz $x_0 ,$ tada je $(x_0,f(x_0))$ prevojna tačka.

Diferenciranjem prvog izvoda dobijamo drugi izvod:

f''(x)=\frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{3}}

x\in(-\infty,0)

x\in(0,+\infty)

x^{3}

-

+

e^{- \frac{1}{x}}

+

+

f''(x)

-

+

f(x)

\cap

\cup

Funkcija je konveksna ( $\cup$ ) na $(0,+\infty) ,$ a konkavna ( $\cap$ ) na $(-\infty,0) .$ Drugi izvod nigde ne menja znak u oblasti definisanosti, pa prevojnih tačaka nema.

Rezime: funkcija raste na $(-\infty,-1)$ i na $(0,+\infty) ,$ a opada na $(-1,0)$ ; lokalni maksimum $\left(-1,\ - e\approx-2{,}718\right)$ ; asimptote: $x=0 ,$ $y=x - 1$ ; funkcija je konveksna ( $\cup$ ) na $(0,+\infty) ,$ a konkavna ( $\cap$ ) na $(-\infty,0) .$ Na osnovu svega ovoga crtamo grafik.

Započni učenje

Online časovi

259.z

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci