259.g

Ispitujemo redom: oblast definisanosti, nule i znak, parnost, asimptote, monotonost i ekstremume (prvi izvod), konveksnost i prevojne tačke (drugi izvod), pa crtamo grafik.

Funkcija je definisana za svaki realan broj. Oblast definisanosti je $D=\mathbb{R} .$

Nule nalazimo iz jednačine $f(x)=0 .$ Ta jednačina nema rešenja u oblasti definisanosti, pa grafik ne seče $x$-osu.

Presek sa $y$-osom: $f(0)=1 .$

Znak funkcije određujemo iz znakova činilaca:

Funkcija je definisana i neprekidna na celom $\mathbb{R} ,$ pa nema vertikalnih asimptota.

Iz gradiva: diferencijabilna funkcija $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ je na intervalu $(a,b)$ rastuća ako i samo ako je $f'(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a opadajuća ako i samo ako je $f'(x)\leq0$ za sve $x\in(a,b) .$ Zato monotonost određujemo iz znaka prvog izvoda. Iz gradiva: ako $f'(x)$ menja znak kada $x$ prolazi kroz $x_0 ,$ tada je $x_0$ tačka strogog lokalnog ekstrema: prelaz sa $-$ na $+$ daje minimum, a sa $+$ na $-$ maksimum.

Prvi izvod je jednak nuli ili ne postoji u tačkama $x=0 .$ One, zajedno sa tačkama prekida, dele oblast definisanosti na intervale na kojima izvod ima stalan znak.

Funkcija raste na $(-\infty,0) ,$ a opada na $(0,+\infty) .$

U tački $x=0$ izvod menja znak sa $+$ na $- ,$ pa je to lokalni maksimum: $f(0)=1 .$

Iz gradiva: funkcija je konveksna na $(a,b)$ ako i samo ako je $f''(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a konkavna ako i samo ako je $f''(x)\leq0 .$ Ako $f''(x)$ menja znak pri prolazu kroz $x_0 ,$ tada je $(x_0,f(x_0))$ prevojna tačka.

Funkcija je konveksna ($\cup$) na $(-\infty,- \frac{\sqrt{6}}{2})$ i na $(\frac{\sqrt{6}}{2},+\infty) ,$ a konkavna ($\cap$) na $(- \frac{\sqrt{6}}{2},\frac{\sqrt{6}}{2}) .$ Drugi izvod menja znak u $x=- \frac{\sqrt{6}}{2}\approx-1{,}225 ,$ $x=\frac{\sqrt{6}}{2}\approx1{,}225 ,$ pa su prevojne tačke $\left(- \frac{\sqrt{6}}{2}\approx-1{,}225,\ \frac{5}{2 e^{\frac{3}{2}}}\approx0{,}558\right) ,$ $\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\approx1{,}225,\ \frac{5}{2 e^{\frac{3}{2}}}\approx0{,}558\right) .$

Rezime: funkcija raste na $(-\infty,0) ,$ a opada na $(0,+\infty)$; lokalni maksimum $\left(0,\ 1\right)$; asimptote: $y=0$; funkcija je konveksna ($\cup$) na $(-\infty,- \frac{\sqrt{6}}{2})$ i na $(\frac{\sqrt{6}}{2},+\infty) ,$ a konkavna ($\cap$) na $(- \frac{\sqrt{6}}{2},\frac{\sqrt{6}}{2})$; prevojne tačke u $x=- \frac{\sqrt{6}}{2}\approx-1{,}225 ,$ $x=\frac{\sqrt{6}}{2}\approx1{,}225 .$ Na osnovu svega ovoga crtamo grafik.